KDV PDE: energía constante en el tiempo

Question

Mostrar que si u resuelve la ecuación KDV $u_t + u_{xxx} + 6uu_x = 0$ $x \in \mathbb{R}$, $t > 0$
entonces la energía
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} u_x ^2 - u^3 \,dx$
es constante en el tiempo.

Intento: La habitual idea es diferenciar en la integral y luego tal vez hacer la integración por partes, pero no pude encontrar nada bueno. Cualquier sugerencias? Gracias de antemano.

EDITAR:

Fuente: S06_Final_Exam-L. Evans.pdf

Tentativa Real: Poner $e(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} u_x ^2 - u^3 \,dx$. La diferenciación en virtud de la integral y luego integrar por partes, tenemos $e'(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u_x u_{xt} - 3u^2 u_t \,dx = u_x u_t |^{+\infty}_{-\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} u_{xx} u_t \,dx - \int_{\infty}^{\infty} 3u^2 u_t \,dx$.

Suponiendo que u tiene soporte compacto, el primer término se desvanece, por lo que nos queda $e'(t) = -\int_{-\infty}^{\infty}u_t(u_{xx} + 3u^2)\,dx$.

La única razón por la que creo que esto puede ser útil es el hecho de que podemos reescribir la ecuación KDV como $u_t + (u_{xx})_x + (3u^2)_x = 0$ e integrar. Pero no veo cómo terminar con el problema a partir de aquí, es por eso que estoy buscando otras sugerencias.

Answer 1

Así definen $$W = u_{xx} + 3u^2,$$ su expresión $u_t + (u_{xx})_x + (3u^2)_x = 0$ dice $u_t = - W_x.$ Entonces

$$e'(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \; W_x \, W \,dx,$$ y

$$e'(t) = \frac{1}{2} W^2 \left|^{x=+\infty}_{x=-\infty} \right.$$

Así que si $u,$ como una función de la $x,$ ha compacto de apoyo o, por ejemplo, en el de Schwartz clase, entonces su $e'(t) = 0.$

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz_space