Invertir una matriz.

Question

$$A=\begin{pmatrix}1 & -a_1 & -a_1 &\cdots & -a_1\\ -a_2 & 1 &-a_2 & \cdots &-a_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ -a_{N-1} & -a_{N-1} & \cdots& 1 & -a_{N-1}\\ -a_N & -a_N & \cdots & -a_N & 1 \end{pmatrix}.$$

Donde $a_i\geq0\;\forall\; i\in\{1, \cdots, N\}$ $$\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{a_i}{a_i+1}<1.\quad (1)$$

• EDIT 1: La condición de $(1)$ debe garantizar que la inversa existe.

• EDICIÓN 2 De hecho, no hay ninguna fórmula para $A^{-1}$. El problema es encontrar a $P_i$ en la siguiente ecuación: $$P_i-a_i\sum\limits_{j\neq i}^{N}P_j=\alpha a_i\;\forall\;i\in\{1, \cdots, N\}.$$ Esto es equivalente a $AP=b$ y, por tanto,$P=A^{-1}b$. Dijeron que $P_i$ está dado por: $$P_i=\dfrac{\alpha}{1-\sum\limits_{j=1}^{N}\dfrac{a_j}{1+a_j}}\dfrac{a_i}{1+a_i}.$$ Donde $b=[\alpha a_1, \alpha a_2, \cdots, \alpha a_N]^{\mathrm{T}}$ $P=[P_1, P_2, \cdots, P_N]^{\mathrm{T}}.$

Esta matriz se da en un papel: los autores dijeron que su inversa está dada por $A^{-1}$ al $(1)$ está satisfecho. No sé cómo proceder para invertir.

¿Cómo llegaron $P$ sin llegar a $A^{-1}$ ?

Muchas gracias.

Answer 1

La matriz $A$ puede ser escrita en la forma $$A=(I+\mathrm{diag}(a))-ae^T$$ donde $a=[a_1,\ldots,a_N]^T$, $\mathrm{diag}(a)$ denota la matriz diagonal con los elementos de $a$ en la diagonal y $e^T=[1,\ldots,1]$. Para la inversión, el uso de la Sherman-Morrison fórmula: $$A^{-1}=(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}+\frac{(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}ae^T(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}}{1-e^T(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}a}.$$

La matriz es invertible, siempre que $$e^T(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}\neq 1 \quad\Leftrightarrow\quad \sum_{i=1}^N\frac{a_i}{a_i+1}\neq 1.$$

Así que si $b=\alpha a$, luego $$P=A^{-1}b=\alpha^{-1}=\frac{\alpha(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}a}{1-e^T(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}}.$$ A partir de aquí, usted puede conseguir que su $i$th componente $P_i$ es $$P_i=\frac{\alpha[(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}a]_i}{1-e^T(I+\mathrm{diag}(a))^{-1}a}=\frac{\alpha\frac{a_i}{a_i+1}}{1-\sum_{j=1}^N\frac{a_j}{a_j+1}}.$$