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¿Hay algún caso en el que una de dos dimensiones límite existe, pero no el uno de los límites dimensionales?

Apenas estoy aprendiendo un poco de la prueba basado en cálculo multivariable, y en Apostol Volumen 2 capítulo 8.5 ejercicio número 2 es el siguiente instrucción.

Si \lim_{(x,y)\(a,b)}f(x,y)=L y \lim_{x\to a}f(x,y) \lim_{y\to b}f(x,y) ambos existen, probar que

\lim_{x \a}[\lim_{y \b}f(x,y)] = \lim_{y \b}[\lim_{x \a}f(x,y)]=L.

Esto es bastante fácil de creer. Mi pregunta es si es redundante afirmar que la única variable de los límites existen, dado que las dos variables límite existe. ¿Hay algún caso en que las dos dimensiones límite existe, sino a la persona en una dimensión límites no? Gracias.

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Ted Shifrin Puntos 33487

Considere la posibilidad de f(x,y)=\begin{cases} -x, & y\in\Bbb Q \\ x, & y\notin\Bbb Q \end{cases}. A continuación, \lim\limits_{y\to 0} f(x,y) no existe cuando se x\ne 0, pero \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = 0.

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