Complejo de límite de una exponencial.

Question

Para que los valores de $\arg(z)=k$ $z\in\mathbb{C}$ hace $$\lim_{z\rightarrow \infty}|e^z|$$ existir? Considere la posibilidad de k constante. No tengo ni idea de cómo hacerlo... Alguien puede ayudarme por favor?

Answer 1

Usted tiene

$$\vert e^z\vert =\vert e^{x+iy}\vert=e^x$$

donde $x$ es la parte real de la $z$ $y$ es la parte imaginaria.

Así que usted tiene para todos los $k=\mathrm{arg}(z)\in(-\pi/2,\pi/2)$:

$$\lim_{\vert z\vert \to\infty} \vert e^z\vert =\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$$

debido a $x\to\infty$ al $\vert z\vert\to\infty$ en ese caso (que asumió $k$ es constante en su pregunta).

De lo contrario, si $k=\pi/2$ o $k=-\pi/2$:

$$\lim_{\vert z\vert \to\infty} \vert e^z\vert =\lim_{x\to+\infty} 1=1.$$

Y por último, si $k\in(\pi/2,2\pi/2)$:

$$\lim_{\vert z\vert \to\infty} \vert e^z\vert =\lim_{x\to+\infty} e^{-x}=0.$$

Así que el límite siempre existirá si asumimos $k$ constante (es diferente si no).

Answer 2

Sugerencia

$$|e^z| = \left| e^{|z|(\cos k + i \sin k)}\right| = \left |e^{|z| \cos k} \right| \left| e^{i |z|\sin k}\right|.$$

Answer 3

Sugerencia:

escribir $e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}$ así que : $|e^z|=e^x$