Interpretación geométrica de la $|\frac{z+i} {z-i}| =2$

Question

La solución de los rendimientos de un círculo, pero quiero una interpretación geométrica aquí.

Answer 1

De $|\frac{z+i} {z-i}| = 2$, obtenemos $\frac{|z – (–i)|} {|z – (i)|} = 2$.

Si dejamos que P, a, B para representar los números complejos z, +i y -i, respectivamente, tenemos $\frac{BP} {AP} = \frac 21$.

Esto significa que tenemos otro punto C acostado en AB tal que PC es la bisectriz de un ángulo de $\angle APB$. Para más detalles, consulte el "teorema de la bisectriz de un ángulo".

Lo mismo es cierto de la existencia de otro punto D tal que DP es el ángulo externo de la bisectriz de $\angle APB$.

Tenga en cuenta que (1) el ángulo entre la parte interna y externa de la bisectriz de un ángulo del mismo ángulo es $\frac {\pi}{2}$; y (2) C, D son puntos fijos en AB. Por lo tanto, P se encuentra en el círculo con el CD de diámetro.

Answer 2

Aquí es un boceto de lo que gemetrically que está pasando

NOTA

Como AB es constante, la ecuación describe una circunferencia conocido como Círculo de Apolonio

https://en.wikipedia.org/wiki/Circles_of_Apollonius

Answer 3

$$ \frac{|z+i|}{|z-i|}=2\Longleftrightarrow |z-(-i)|=2|z-i| $$ así que estamos tratando con la región en el plano complejo de todos los puntos cuya distancia de $-i$ es el doble de la distancia de $i$.