Mostrar una función tiene un máximo

Question

Deje $f:[0, \infty)$ ser una función continua. $f(0) = 1 $ y $\forall x \in [0, \infty)$ $f(x)\leq \frac{x+2}{x+1}$

Mostrar que $f$ obtiene un valor máximo en $[0, \infty)$.

Mi intuición:
si $f(0)$ es el máximo que estoy hecho, si no la función que usted me mostró converge a $1$ quiero mostrar que a partir de un cierto punto será inferior a $1.$ me Puede ayudar a formalizar?

Answer 1

(1). Si $f(x)\leq 1$ todos los $x\in [0.\infty)$ $1=f(0)=\max_{x\geq 0}f(x).$

(2). Si $f(x_0)>1$ algunos $x_0>0$ existe $x_1>x_0$ tal que $$\forall x\geq x_1\;( f(x)<\frac {1}{2}(1+f(x_0))$$ because $\lim_{x\to \infty}\sup_{y\geq x}f(y)\leq 1.$

Existe $x_2\in [0,x_1]$$f(x_2)=\max \{f(x): x\in [0,x_1]\}$.

Desde $x_0\in [0,x_1]$ tenemos $f(x_0)\leq f(x_2)$, por lo que para $x>x_1$ tenemos $$f(x)<\frac {1}{2}(1+f(x_0))<f(x_0)\leq f(x_2).$$

Por lo tanto, $f(x_2)= \max_{x\geq 0}f(x).$

Answer 2

Está usted familiarizado con el teorema del valor extremo?

https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem

En este caso, $f(x) \le 2$ $f$ es continua y acotada. Pero todavía no hemos encontrado un intervalo cerrado para que esto se aplique.

Caso 1:

Supongamos que hay un $d$, de modo que $f(d) > 1$. Vamos a dejar que $\epsilon = f(d) -1 > 0$.

Deje $x > \frac 1{\epsilon}$ $\frac 1{x+1} < \frac 1{x} < \epsilon$

A continuación, $f(x) \le \frac {x+2}{x+ 1} = \frac {x+1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1} < 1 + \epsilon = f(d)$ todos los $x > \frac 1{\epsilon}$.

(Esto quiere decir $d < \frac 1 {\epsilon}$. De lo contrario, tendríamos el resultado absurdo $f(d) < f(d)$.)

Bien. por lo $f$ alcanza un máximo en $[0, \frac 1{\epsilon}]$ por valor extremo thereom. Y como este maximimum es al menos tan grande como $f(d)$ es mayor que $f(x)$ todos los $x \in (\frac 1{\epsilon}, \infty)$, por Lo que es un máximo en todas las $[0,\infty)$.

Caso 2: $f(x) \le 1$ todos los $x \in [0,\infty)$.

A continuación, $f(0) = 1$ es máxima.

Answer 3

Suponga que $\sup_{x\geq 0}f(x)>1$, y que el máximo no existe. A continuación, hay una secuencia $(x_n)_{n\in\Bbb N}$ $[0,\infty)$ (wlog monótonamente creciente) de forma tal que $f(x_n)\to\sup_{x\geq 0}f(x)$$n\to\infty$. Además, la secuencia de $(x_n)_{n\in\Bbb N}$ puede ser elegido como $x_n\to\infty$ (de lo contrario, la secuencia de contenidos en un conjunto compacto $K$ e (a causa de la monotonía) convergen a un $x_0\in K$, que es necesariamente el máximo de $f$ $K$ (a causa de la continuidad) - que es una contradicción a la asunción). Ahora obtenemos $$1<\sup_{x\geq 0}f(x) = \lim_{n\to\infty}f(x_n) \leq \lim_{n\to\infty}\frac{x+2}{x+1} =1,$$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, la suposición era incorrecta y el máximo existe o $\sup_{x\geq 0}f(x)=1$ mantiene. Pero luego, con la $f(0)=1$ el máximo existe, también.