Puede cualquier anillo conmutativo de la característica $p\in\mathbb P$ ser escrito como la forma $R/(p)$ $R$ ser un anillo de carácter $0$?

Question

Deje $S$ ser un anillo conmutativo con identidad, con $\operatorname{char}S=p$ donde $p$ es un número primo. Me pregunto si siempre podemos encontrar un anillo de $R$ tal que $\operatorname{char}R=0$$R/(p)\cong S$.

Creo que la pregunta anterior es equivalente a si para cada a $\mathbb Z_{p}$-polinomio de álgebra $A$ e ideal $I$ $A$ contiene $p$, existe un ideal $J$ no contiene un valor distinto de cero constantes que $I=(p)+J$. Pero no estoy seguro de si el último simplifica la antigua.

Por otra parte, va a ser más preferible si ese $R$ admite una proyección canónica $\varphi:R\twoheadrightarrow S$ en el sentido de que cada anillo homomorphism de un anillo de carácter $0$ $S$puede ser factorizado a través de $\varphi$.

Answer 1

Para cualquier campo $k$ de los característicos $0$ el anillo de $k\times S$ satisface $(k\times S) / (p) \cong S $. Luego de la proyección de los factores a través de $\varphi$, es decir, hay un mapa de $k \times S \to R$ $(p,0)=p \cdot 1$ no está en el kernel. Esto implica que $k\times \{ 0\} \to R$ es inyectiva. Pero, a continuación, $\vert R \vert \ge \vert k \vert$ para cualquier campo $k$ que no puede ser cierto.