secuencia de números

Question

Aquí es cómo se ve:

1 1 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 1 1 3
1 1 1 2 1
1 1 1 2 2
1 1 1 2 3
1 1 1 2 4
1 1 1 3 1
.........
25 25 25 25 24
25 25 25 25 25

Contando secuencias mediante un sencillo script que da una respuesta de 386958

Ya sé que si yo acababa de $a_{i+1} \leq a_i$, sería ${25+5-1 \choose 5}=118755$, pero no sé qué hacer con ese extra de "+2" $a_{i+1} \leq a_i + 2$

¿Cuál es la solución matemática aquí? ¿Tengo que usar una generación de función para esto?

Answer 1

Esta respuesta es, probablemente, mucho más trabajo que contar con una secuencia de comandos, pero aquí va. . .

Vamos a utilizar de inclusión/exclusión. El número total de $5$-tuplas es $25^5$, y tenemos que excluir a aquellos que se encuentran en la unión de los cuatro conjuntos $$S_k=\{\,{\bf a}\mid a_{k+1}>a_k+2\,\}\ .$$

• Para el recuento $S_1$ necesitamos organizar $25$ puntos en la forma siguiente, donde $\bullet$ representa una obligatoria punto y $\circ$ representa un punto opcional: $$\qquad\qquad\cdots\circ a_1\bullet\bullet\circ\cdots a_2\circ\cdots \qquad\qquad(1)$$ Esto es sólo el problema estándar de recuento de las soluciones a$x_1+x_2+x_3=25$$x_2\ge2$, y el número de posibilidades es $C(23,2)$. Luego tenemos que elegir valores arbitrarios para $a_3,a_4,a_5$, lo $|S_1|=C(23,2)25^3$. Lo mismo vale para los $S_2,S_3,S_4$.
• Arreglos en $S_1\cap S_2$ este aspecto: $$\qquad\qquad\cdots\circ a_1\bullet\bullet\circ\cdots a_2\bullet\bullet\circ\cdots a_3 \circ\cdots\qquad\qquad(2)$$ y llegamos $|S_1\cap S_2|=C(21,3)25^2$. Hay dos términos como esta. . .
• . . . pero $S_1\cap S_3$ es diferente. Se verá como dos copias independientes de $(1)$ junto con una "libre elección", por lo $|S_1\cap S_3|=C(23,2)^225$.

Continuando en forma similar, el número total es de $$\eqalign{25^5-4C(23,2)25^3 &{}+(3C(21,3)25^2+3C(23,2)^225)\cr &{}-(2C(19,4)25+2C(21,3)C(23,2))+C(17,5)\ ,\cr}$$ y ¿adivinen qué?? . . . si se evalúa que usted consigue $386958$.

Answer 2

Usted tiene: \begin{align} a_1 &\le 25 \\ a_2 &\le a_1 - 2 \\ a_3 &\le a_2 - 2 \\ a_4 &\le a_3 - 2 \\ a_5 &\le a_4 - 2 \\ a_5 &\ge 1 \end{align} Definir nuevas variables: \begin{align} x_1 = 25 - a_1 &\ge 0 \\ x_2 = a_1 - a_2 &\ge 2 \\ x_3 = a_2 - a_3 &\ge 2 \\ x_4 = a_3 - a_4 &\ge 2 \\ x_5 = a_4 - a_5 &\ge 2 \\ x_6 = a_5 &\ge 1 \end{align} A lo anterior agrega $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 25$. Configurar esto mediante la generación de funciones: $$ [z^{25}] \frac{z}{1 - z} \left( \frac{z^2}{1 - z} \right)^4 \frac{1}{1 - z} = [z^{25}] \frac{z^9}{(1 - z)^6} = [z^{16}] (1 - z)^{-6} = \binom{-6}{16} (-1)^{16} = 20349 $$

Answer 3

Creo que el guión está correcto. A continuación es una secuencia de comandos de MAPLE.

z := 0; para i 25 ¿
por j a 25 ¿
por k a 25 ¿
para l a 25 ¿
para m a 25 ¿
si $(i+2\ge j)\text{ and } (j+2 \ge k) \text{ and } (k+2\ge l) \text{ and } (l+2\ge m)$
z := z+1 fin si fin ¿
final ¿
final ¿
final ¿
fin de hacer;

Termino con el recuento $z=386958$. El guión es correcto, como la eliminación de la $+2$'s, se obtiene el ${29\choose 5} = 118755$.