Derivaciones vs automorfismos de deformaciones

Question

Deje $A$ ser un anillo, y $p : R'\rightarrow R$ un surjection de $A$-álgebras con kernel $I$ una plaza de cero ideal - ie $I^2 = 0$.

Deje $f,g : R'\rightarrow R'$ ser automorfismos de a $R'$ $R$ (es decir, $pf = pg = p$), entonces es fácil comprobar que $f-g : R'\rightarrow R'$ tiene imagen en $I$, y en realidad define un $A$-lineal de la derivación, es decir, un elemento de $Der_A(R',I)$. Aquí probablemente quieres asumir que $f,g$ también $A$-lineal.

Ahora vamos a $f\in\text{Aut}_A(R')$ respetando el mapa de $p : R'\rightarrow R$, e $D\in Der_A(R',I)$. Debe $f+D$ ser también un automorphism de $R'$?

Si no, ¿cuáles son los "mínimos supuestos razonables" tenemos que imponer para que esto sea cierto?

Puedo mostrar que $f+D : R'\rightarrow R'$ es un homomorphism de $R$-álgebras, pero estoy teniendo problemas demostrando bijectivity.

Las variaciones de este se dan en Hartshorne la "Deformación de la teoría", donde se da como ejercicio 5.2, y en Sernesi del libro "las Deformaciones de la Algebraicas Esquemas", donde es "Lema 1.2.6", pero que en realidad no prueban que $f+D$ es un automorphism.

Answer 1

En la generalidad de estado, la respuesta es no, el mapa de $f+D$ no se necesita ser un bijection.

Aquí es un ad-hoc ejemplo. Deje $A=R$ ser un campo y dejar a $R'$ ser el polinomio anillo en infinidad de variables $e_i, i\geq 1$ con las relaciones $e_ie_j=0$ todos los $i,j$. A continuación, tenemos una natural surjection $p:R'\to R$ y el kernel $I$ $A$- espacio vectorial generado por la $e_i$s y $I^2=0$. Cualquier elemento en $R'$ puede escribirse de forma única como $\alpha+\sum a_ie_i$$\alpha, a_i\in A$, y la suma es finita. Considerar la derivación $D:R'\to I$$D(\alpha+\sum a_ie_i)=\sum a_ie_{i+1}$. A continuación, el mapa de $I+D:R'\to R'$ donde $I$ es el mapa de identidad no es sobre. Uno fácilmente se comprueba que el elemento $e_1$ no está en la imagen de este mapa.

En la deformación de la teoría, una de las condiciones naturales que pueden ser impuestas a hacer todo el trabajo no es tomar una hoja de derivación $D:R'\to I$, pero tomar una derivación $D:R\to I$ (tenga en cuenta que $I$ $R$- módulo) y, a continuación, la consideran como una derivación de $R'$$p$. A continuación, $D\circ D=0$ y tendrás $f+D$ un bijection como usted desea. Puede haber otras condiciones que podrían producir el mismo resultado.