Característica de subgrupos y de automorfismos

Question

$\DeclareMathOperator{\Char}{char}$$\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}$ Deje $G$ ser un grupo finito, $H$ a un subgrupo, que $H \Char G$. Si $\phi \in \Aut(H)$ hay un automorphism $\widehat{\phi} \in \Aut(G)$ tal que $\widehat{\phi}|_H$ = $\phi$?

En palabras, si $\phi$ es un automorphism de $H$, es necesariamente un automorphism $\widehat{\phi}$ $G$ donde $\widehat{\phi}$ mapas de los elementos en $H$ $H$exactamente de la misma manera?

Estoy pensando que esto es falso (considerar la no-finito ejemplo de $\bar{Q}$$\mathbb{C}$), pero sería como un contador de ejemplo (para el caso finito).

Answer 1

Como usted dijo, la respuesta no es siempre la verdad, no siempre es falsa.

Deje $G$ ser el no-abelian $p$-grupo ($p>2$), dada por $$G=C_{p^2}\rtimes C_p=\langle x,y \colon x^{p^2}, y^p, yxy^{-1}=x^{1+p}\rangle .$$ En este grupo, $\langle x^p,y\rangle\cong C_p\times C_p$ es característico de los subgrupos, ya que es la única máxima subgrupo que ha exponente $p$. Esta característica subgrupo tiene mucho de automorfismos, tomar un simple $$x^p\mapsto y, \mbox{ and } y\mapsto x^p.$$ Este automorphism de $H$ no puede ser extendido a un automorphism de $G$, porque, $x^p$ está en el centro de la $G$ pero $y$ no lo es.

El ejemplo sugiere que mientras que mirando a la extensión de automorfismos de subgrupo del grupo, debemos también la atención acerca de la característica de los subgrupos de $G$ que están dentro de $H$; tales subgrupos pueden no ser característico en $H$, pero en el grupo más grande, pueden llegar a ser característico.