Demostrando el principio de buena ordenación para los números naturales

Question

Sé que el Principio del Buen Orden (WOP, por sus siglas en inglés) se trata como un axioma de un número natural, pero me preguntaba si puedo demostrar el WOP definido para el conjunto de números naturales N de la siguiente manera:

Supongamos que A es un subconjunto de N, que luego cumple con todos los axiomas de los postulados de Peano, y asumamos que A no tiene un elemento mínimo. Entonces, el 1 en A debe ser sucesor de otro número natural, que es 0. Sin embargo, 0 no está ni en A ni en N (si 0 está en N, entonces argumentamos que 0 debe ser sucesor de -1, que no es parte de N). Además, el 1 en A siendo un sucesor contradice al axioma de Peano (1 no puede ser sucesor). Por lo tanto, nuestra suposición de que A no tiene un elemento mínimo no es cierta. Por lo tanto, A tiene un elemento mínimo. Sin pérdida de generalidad, cada subconjunto de N tiene un elemento mínimo.

Entiendo que esta es una prueba tonta, pero quería asegurarme de tener un razonamiento para el WOP en N antes de avanzar.

Answer 1

El principio del buen orden es una consecuencia directa del Principio de Inducción Matemática y aquí necesitamos la segunda versión del Principio de Inducción Matemática que se indica a continuación:

Segunda versión del Principio de Inducción Matemática: Si $A$ es un subconjunto de $\mathbb{N}$ tal que

• $1 \in A
• Si $1, 2, \ldots, n \in A$ entonces $(n + 1) \in A

entonces $A = \mathbb{N}$.

Sea $A$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$. Si $1 \in A$ entonces obviamente $A$ tiene un elemento mínimo y por lo tanto supongamos que $1 \notin A$. Consideremos $B = \mathbb{N} - A$. Entonces podemos observar que $B$ también es un subconjunto de $\mathbb{N}$ y $1 \in B$.

Supongamos que $A$ no tiene un elemento mínimo. Usando esta suposición demostraré que si $1, 2,\ldots, n \in B$ entonces $(n + 1) \in B. Si $1, 2,\ldots, n \in B$ entonces $1, 2, \ldots, n \notin A$ y por lo tanto cualquier elemento en $A$ es mayor que $n$. Si $(n + 1) \in A$ entonces se convertiría en el elemento mínimo de $A$ y esto no está permitido por nuestra suposición. Por lo tanto $(n + 1) \in B$. Ahora, por el Principio de Inducción Matemática, se sigue que $B = \mathbb{N}$ y por lo tanto $A = \mathbb{N} - B = \emptyset$, lo cual es contrario a la suposición de que $A$ no está vacío.

De esta contradicción se deduce que $A$ debe tener un elemento mínimo. Es posible demostrar el Principio de Inducción Matemática asumiendo la verdad del Principio del Buen Orden. Entonces, en cierto sentido, ambos principios son equivalentes, pero parece que el principio de inducción captura la esencia de los números naturales de una manera más intuitiva y evidente, y tal vez esa sea la razón por la que fue seleccionado como uno de los axiomas de Peano.

Answer 2

En mi opinión, has básicamente reformulado el axioma al hacer la misma suposición de una forma más sutil (suposiciones sobre los naturales). Generalmente, los axiomas son axiomas porque no pueden ser demostrados de forma independiente utilizando los otros axiomas. Por ejemplo, si estás familiarizado con el análisis, la existencia de supremos en los reales es típicamente axiomática, pero la existencia de ínfimos no lo es, ya que puede ser demostrada a partir del axioma de supremos.

Answer 3

He encontrado una prueba ahora:

Sea A un subconjunto no vacío del conjunto de números naturales N, supongamos que A no contiene un elemento mínimo. Definimos B=N-A, lo que significa que B es un subconjunto de N. Sea el predicado P(n) definido de la siguiente manera: P(n): para todos los elementos n de B, n en B implica que n+1 está en B. Sea T un conjunto de verdades de P(n):

Paso base: P(1) es verdadero ya que 1 en N indica que 1 no puede estar en A.

Paso inductivo: Supongamos que P(1)^P(2)^...^P(n) es verdadero, donde n es un número natural. Eso significa que {1,2,...,n} no es un subconjunto de A. Eso significa que P(n+1) es verdadero ya que A no tiene un elemento mínimo. Por lo tanto, el conjunto de verdades T para P(n) es igual a B. Esto significa que B=N.

Dado que B=N, deducimos que A está vacío, lo cual contradice el hecho de que A no está vacío. Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta y A contiene un elemento mínimo. Sin perder generalidad, cada subconjunto de números naturales contiene un elemento mínimo.

*¿Se considera un hecho que "Sea A un subconjunto no vacío..."? Estoy preocupado ya que uso la palabra "sea", que normalmente indica una suposición.

Lamento no haber usado símbolos...acabo de empezar a aprender Latex.