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En $(X)(Y)=(XY)$ para $X,Y\subseteq R$ ?

Sea $R$ sea un anillo conmutativo. Denotemos por $X\ast Y=\{xy\mid x\in X,y\in Y\}$ el producto complejo de subconjuntos. Quiero demostrar que dados subconjuntos $X,Y\subseteq R$ los siguientes ideales son iguales: $$(X)(Y)=(X\ast Y)\,.$$ Por definición, $(X)(Y)=((X)\ast(Y))$ así que tengo que demostrar que

  • $X\ast Y\subseteq((X)\ast(Y))$ ,
  • $(X)\ast(Y)\subseteq(X\ast Y)$ .

El primer punto es trivial, porque $X\subseteq(X)$ y $Y\subseteq(Y)$ implica $$X\ast Y\subseteq(X)\ast(Y)\subseteq((X)\ast(Y))\,.$$

En cuanto al segundo punto, dejemos que $a=\sum_i r_ix_i\in(X)$ y $b=\sum_js_jy_j\in (Y)$ . Entonces $$ab=\sum_{i,j}r_ix_is_jy_j=\sum_{i,j}r_is_jx_iy_j\in(X\ast Y)\,,$$ lo que demuestra 2 ..

Tengo dos preguntas:

  1. ¿Es correcta mi prueba de la afirmación anterior?
  2. ¿Sigue siendo válida la afirmación si $R$ no es conmutativa y sustituimos ideal por izquierda- , derecha- o ideal bifronte ? Creo que he utilizado la conmutatividad en el segundo paso.

Edita: Creo que tengo un contraejemplo para 2.: Sea $R$ es un anillo cualquiera y $R\langle x,y,z\rangle$ sea el $R$ -generada libremente por $x,y,z$ . Entonces pienso $xyz\in(x)(z)$ pero $xyz\notin(xz)$ . Esto debería funcionar cuando $()$ es el ideal generado de la izquierda, así como si es el ideal generado de los dos lados. ¿Es esto correcto?

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¿Quizá quiera sustituir la etiqueta ejemplos-contraejemplos por solución-verificación?

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Rudy the Reindeer Puntos 20855

Sí, tu prueba parece correcta.

Pero me confunde tu comentario "por definición $(X)(Y) = ((X)(Y))$ ". No es una definición, estos conjuntos simplemente resultan ser iguales porque $R$ es conmutativa.

Por definición, $(XY)$ es el ideal generado por $XY$ . Por lo tanto, un elemento en $(XY)$ es una combinación lineal $\sum_{i=1}^n r_i x_i y_i$ .

$(X)(Y)$ por otra parte, consta de elementos de la forma $\left ( \sum_{i=1}^n r_i x_i \right ) \left ( \sum_{j=1}^m r'_j y_j \right )$ .

En cuanto a su ejemplo: Tienes que asumir que $R$ no es conmutativa. Además, supongo que querías decir finitamente generada en lugar de libremente. Entonces: sí, efectivamente ya que $yz \in (z)$ , $xyz \in (x)(z)$ pero $xyz \notin (xz)$ desde $R$ se supone que no es conmutativa.

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El OP está diciendo " $(X)(Y)=((X)\ast(Y))$ ", lo cual es correcto. "Generado libremente" también es correcto.

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@egreg Gracias por la aclaración.

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@egreg ¿Puedes indicarme una definición de "álgebra generada libremente"? Sólo encuentro "álgebra finitamente generada". Gracias de antemano.

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