Sea $R$ sea un anillo conmutativo. Denotemos por $X\ast Y=\{xy\mid x\in X,y\in Y\}$ el producto complejo de subconjuntos. Quiero demostrar que dados subconjuntos $X,Y\subseteq R$ los siguientes ideales son iguales: $$(X)(Y)=(X\ast Y)\,.$$ Por definición, $(X)(Y)=((X)\ast(Y))$ así que tengo que demostrar que
- $X\ast Y\subseteq((X)\ast(Y))$ ,
- $(X)\ast(Y)\subseteq(X\ast Y)$ .
El primer punto es trivial, porque $X\subseteq(X)$ y $Y\subseteq(Y)$ implica $$X\ast Y\subseteq(X)\ast(Y)\subseteq((X)\ast(Y))\,.$$
En cuanto al segundo punto, dejemos que $a=\sum_i r_ix_i\in(X)$ y $b=\sum_js_jy_j\in (Y)$ . Entonces $$ab=\sum_{i,j}r_ix_is_jy_j=\sum_{i,j}r_is_jx_iy_j\in(X\ast Y)\,,$$ lo que demuestra 2 ..
Tengo dos preguntas:
- ¿Es correcta mi prueba de la afirmación anterior?
- ¿Sigue siendo válida la afirmación si $R$ no es conmutativa y sustituimos ideal por izquierda- , derecha- o ideal bifronte ? Creo que he utilizado la conmutatividad en el segundo paso.
Edita: Creo que tengo un contraejemplo para 2.: Sea $R$ es un anillo cualquiera y $R\langle x,y,z\rangle$ sea el $R$ -generada libremente por $x,y,z$ . Entonces pienso $xyz\in(x)(z)$ pero $xyz\notin(xz)$ . Esto debería funcionar cuando $()$ es el ideal generado de la izquierda, así como si es el ideal generado de los dos lados. ¿Es esto correcto?
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