¿Cómo determinar cuál $\epsilon$ a utilizar?

Question

Cuando se trata de epsilon-delta pruebas, casi todos los textos (si no todos) parece hacer una elección perfecta de epsilon, para empezar, de tal manera que cuando todo por fin podemos decir $$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$, que es de curso muy cuidada.

Sin embargo, no puedo imaginar que todo el mundo sabe exactamente lo que epsilon para elegir, especialmente cuando se trata de un problema que en principio son un poco inseguro acerca de. Si usted puede ver la prueba de principio a fin en un vistazo, entonces estoy seguro que se puede entender cómo se podría hacer la inteligente elección para empezar.

Pero en realidad, para aquellos con más experiencia aquí, no siempre saber elegir el derecho epsilon para empezar? O ¿muck alrededor en primer lugar, a continuación, modifique los valores para, a continuación, funciona perfectamente como en mi ejemplo anterior?

Específicamente yo estaba trabajando en el problema siguiente:

Considerar el espacio métrico $C[a,b]$ con la distancia se define como el supremum de la norma sobre el intervalo. Deje $(f_n)$ ser una secuencia en nuestro espacio métrico que converge uniformemente a una función $f$$[a,b]$. Demostrar que $f$ es continua en a $[a,b]$.

La solución, lo que motivó mi pregunta aquí, es abajo.

Answer 1

Usted no elige la epsilon.

El epsilon es dado. Dado un épsilon, usted tiene que elegir o encontrar un correspondiente delta. El punto es que dado cualquier $\epsilon > 0$ hacer $\lvert f(x) - f(x_0)\rvert$ más pequeño que este dado al azar $\epsilon$, por la elección de/(lo que demuestra la existencia de) a$\delta > 0$, de modo que cuando se $\lvert x - x_0\rvert$ es menor que $\delta$, $\lvert f(x) - f(x_0)\rvert$ es menor que $\epsilon$.

Permítanme hacer un ejemplo sencillo. Yo no se realmente como esta en este caso específico, pero sólo para ilustrar el punto de rechoosing $\delta$. Digamos que quería demostrar que

$$ \lim_{x\to 2} 3x - 4 = 2 $$ Entonces simplemente comenzar con $$ \lvert x - 2\rvert < \epsilon $$ (Por lo que son, básicamente, la elección de $\delta = \epsilon$.) Esto implica que $$ \lvert (3x - 4) - 2\rvert < 3\epsilon $$ Esta "muestra" que deberá elegir el delta $\delta = \epsilon / 3$, por lo que rechoose ...

Answer 2

Como se ha mencionado por Thomas, no elija la epsilon; generalmente, puede elegir el delta (o $n$, si usted está tratando con secuencias).

Básicamente se hace en dos pasos. Primero hacer la prueba, relacionadas con las desigualdades. Y decir que empezar con una llanura $\delta$, $|x-x_0|<\delta$ y consigue $$|f(x)-f(x_0)|<(5K+7)\delta$$ Ahora se repite la prueba, pero usted sabe que usted desea $(5K+7)\delta<\epsilon$, así que usted elija $\delta<\epsilon/(5K+7)$.

Answer 3

Creo que hay un poco de confusión ya que la mayoría de las respuestas/comentarios ilustra el hecho de que para un típico $\varepsilon$-$\delta$-argumento, vamos a $\varepsilon > 0$ arbitrarias y, a continuación, mostrar que siempre se puede encontrar un adecuado delta que mantiene algunos de expresión por debajo de esta $\varepsilon$. Eso es correcto pero no es exactamente lo que está sucediendo en su prueba. Es decir, es más complicado en el sentido de que no son "diferentes epsilons'.

Su prueba es un típico ejemplo de uso de ciertas propiedades (tales como la continuidad de $f_n$ y la convergencia uniforme $f_n \to f$) para probar otra propiedad (la continuidad de la función de límite de $f$). Ahora, estos anteriores, propiedades conocidas también han $\varepsilon$-$\delta$-definiciones y debido a que usted asume estas propiedades, sabes que para cualquier $\varepsilon > 0$, existe un adecuado delta que mantiene algunos de expresión (relacionado con la supuesta propiedad) por debajo de esta $\varepsilon$.

Desde estas propiedades para cualquier $\varepsilon > 0$, que también es válida para los $\varepsilon/2$, $\varepsilon/3$ etc. La razón por la que esto viene muy bien, es que la definición de la propiedad que usted está tratando de mostrar, también termina en mostrar que algunos (otros) la expresión se mantiene por debajo de (cualquier) $\varepsilon > 0$. Si utiliza el mismo $\varepsilon$ para los otros, supone propiedades y, a continuación, utilizar la desigualdad de triángulo al final - como en su prueba - que terminaría con algo como: $$\color{red}{|f(x)-f(x)| <} |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)| < \varepsilon+\varepsilon+\varepsilon=\color{red}{3\varepsilon}$$ Ahora si empezó la prueba con "elija una arbitraria $\varepsilon > 0$", ahora a terminar con el 'feo' $3\varepsilon$ donde desea que sólo los $\varepsilon$.

Usted puede solucionar este problema mediante la elección de un arbitrario $\color{blue}{\varepsilon'} > 0$ al inicio y ahora la definición de $\color{blue}{\varepsilon'} = 3\varepsilon$ y la expresión final también muy bien se ajusta a la definición formal. Algunos consideran que este es menos elegante y empezar con $\varepsilon$ pero, a continuación, elija el epsilons de aplicar a los otros, supone propiedades como $\varepsilon/3$. Sólo se sabe de la "/3" va a hacer el truco porque se utiliza el triángulo de la desigualdad dividirlo en tres partes.

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Ejemplo

La elaboración de @quid del comentario, podría ser perspicaz para ver el mismo mecanismo que se aplica a un simple ejemplo.

Deje $a_n \to a$$b_n \to b$, lo que significa que para todos los $\varepsilon >0$, existen números de $N_1$ $N_2$ tal forma que: $$n > N_1 \implies |a_n-a| < \varepsilon \quad\mbox{and}\quad n > N_2 \implies |b_n-b| < \varepsilon \quad \quad \color{blue}{(*)}$$ Ahora elija un arbitrario $\varepsilon' >0$ y deje $n > \max\left\{ N_1,N_2\right\}$, entonces: $$|(a_n+b_n)-(a+b)| \le |a_n-a|+|b_n-b| < \varepsilon+\varepsilon = 2\varepsilon = \varepsilon'$$ Esto funciona si usted elige $\varepsilon = \varepsilon'/2$ en las definiciones de $\color{blue}{(*)}$.

Alternativamente, usted puede optar $\varepsilon >0$ y tome $\varepsilon/2$ cuando se usan las definiciones de convergencia de $a_n$$b_n$; a continuación, se perfectamente acabar con $\ldots < \tfrac{\varepsilon}{2}+\tfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$.

Answer 4

Pero en realidad, para aquellos con más experiencia aquí, no siempre saber elegir el derecho epsilon para empezar?

No, excepto por las cosas simples.

O ¿muck alrededor en primer lugar, a continuación, modifique los valores para, a continuación, funciona perfectamente como en mi ejemplo anterior?

Sí, excepto a menudo me salte la última parte. Es tan bueno cuando la prueba termina con, digamos, $< 3 \epsilon$ y se siente menos artificial.