el estudio de la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \log \frac{n+1}{n}$

Question

$\sum_{n=1}^\infty \log \frac{n+1}{n}$

$\sum_{n=1}^\infty \log \frac{n+1}{n}$ = $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}(\log2 - \log1)+(\log3-\log2)+...+(\log(n+1)-\log n)$=$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\log(n+1)\to \infty$. Así, la serie diverge.

Es el procedimiento correcto?

Answer 1

En los comentarios, @Marvis muestra cómo limpiar su prueba. He aquí otro enfoque. Deje $f_n = \log \frac{n+1}{n}$. Examinar la relación de los términos sucesivos de un gran $n$, $$\frac{f_{n+1}}{f_{n}} = 1 - \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Por lo tanto, la serie diverge por Gauss en la prueba.

Answer 2

El procedimiento está bien. Creo que es más fácil sacar el logaritmo de inmediato:

$e^{a_k} = \prod_{n=1}^k{\frac{n+1}{n}} = k+1$

Por eso, $a_k = \log{(k+1)} \rightarrow \infty$.

Answer 3

Su procedimiento es correcto. Me sugieren otra forma:

$\log \frac{n+1}{n}$ es positivo, y: $\log \left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n}$$n \rightarrow\infty$. Así, tenemos:

$\sum \frac{1}{n}$ que se bifurca.

Answer 4

Su procedimiento es correcto. Si quieres escribir cosas con mayor claridad, le sugiero que escriba el $n$th sumas parciales $$\begin{align} s_n &= \sum_{i=1}^{n} \log\left(\frac{i+1}{i}\right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} \log(i+1) - \log(i) \\ &= [\log(2) - \log(1)] + \dots [\log(n+1) - \log(n)] \\ &= \log(n+1). \end{align} $$ Por lo tanto $$ \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n\to \infty} \log(n+1) = \infty.$$ Entonces tu dices que desde que el límite no existe, la serie es divergente, por definición.

Nota: La notación es importante. No es correcto escribir $\lim_{n\to \infty} \log(n+1) \to \infty$, escribimos $\lim_{n\to \infty} \log(n+1) = \infty.$