Spivak, el Cálculo de los Colectores, el Problema 1-30

Question

Deje $f : [a,b] \to \mathbb R$ ser una función creciente. Si $x_1,,\ldots,x_n \in [a,b]$ son distintos, muestran que $\sum_{i=1}^n o(f,x_i)<f(b)-f(a)$.

Definiciones:

• $o(f,x_i) := \lim_{\delta \to 0} [M(x_i,f,\delta)-m(x_i,f,\delta)]$ es la oscilación de $f$
• $M(x_i,f,\delta) := \sup\{f(x) \mid x \in A, |x-x_i| < \delta\}$
• $m(x_i,f,\delta) := \inf\{f(x) \mid x \in A, |x-x_i| < \delta\}$

Mi trabajo:

Desde $f$ es creciente, $x_i-\delta \le x \le x_i+\delta$ implica $f(x_i-\delta) \le f(x) \le f(x_i+\delta)$. Por lo $M(x_i,f,\delta) \le f(x_i+\delta)$$m(x_i,f,\delta) \ge f(x_i-\delta)$. Por lo $M(x_i,f,\delta)-m(x_i,f,\delta) \le f(x_i+\delta)-f(x_i-\delta)$.

No estoy seguro de cómo proceder. Tengo que elegir algo de $\delta > 0$ que funciona, pero no estoy del todo seguro. Todas las sugerencias serán suficientes.

Answer 1

Supongamos que,$x_1 < x_2 < \dots < x_n$.

$$\sum_{i=1}^n s(f,x_i) = \sum_{i=1}^n \lim_{\delta \to 0} [M(x_i,f,\delta)-m(x_i,f,\delta)] = \lim_{\delta \to 0} \sum_{i=1}^n [M(x_i,f,\delta)-m(x_i,f,\delta)] $$

A partir de algunos $\delta$, las bolas $B(x_i,\delta)$ no se intersecan. Denotar $M_i(\delta)$ $N_i(\delta)$ como valores máximo y mínimo de $f$ $B(x_i,\delta)$ respectivamente. Entonces

$$ \lim_{\delta \to 0} \sum_{i=1}^n [M(x_i,f,\delta)-m(x_i,f,\delta)] = \lim_{\delta \to 0} \sum_{i=1}^n M_i-N_i $$

Aprovechando el aumento de la propiedad (hay una foto puede ser útil), obtenemos

$$\lim_{\delta \to 0} \sum_{i=1}^n M_i-N_i \le \lim_{\delta \to 0} \sum_{i=1}^n M_i-N_i + \lim_{\delta \to 0} \sum_{i=2}^n N_{i}-M_{i-1} = \lim_{\delta \to 0} M_N-N_1 \le f(b)-f(a)$$

Answer 2

Me di cuenta de mi propia pregunta después de recibir un poco de ayuda de mi profesor.

Suponer sin pérdida de generalidad que $x_1 < \cdots < x_n$. Elegir $$\delta :=\min\{x_1-m_0,m_1-x_1,\ldots,m_n-x_n\},$$ where $m_k:=\frac{x_{k+1}-x_k}2$ for all $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, $m_0:=a$, and $m_n:=b$. If $x \in (x_i-\delta,x_i+\delta)$, then $x \in (m_{i-1},m_i)$, and so since $f$ is increasing $f(m_{i-1})\le f(x)\le f(m_i)$. Thus, $M(x_i,f,\delta) \le f(m_i)$ and $m(x_i,f,\delta) \ge f(m_{i-1})$. Consequently, $$o(f,x_i) < M(x_i,f,\delta)-m(x_i,f,\delta) \le f(m_i)-f(m_{i-1}),$$ and so $$\sum_{i=1}^n o(f,x_i) < \sum_{i=1}^n (f(m_i)-f(m_{i-1})) = f(m_n)-f(m_0)=f(b)-f(a).$$