Hay una manera fácil de recordar el anillo de los axiomas?

Question

Estoy trabajando en un problema que me pide para probar que un conjunto es un anillo. Tengo que buscar los axiomas para demostrarlo...

Era curioso, hay una manera fácil de recordar el anillo de axiomas, de modo que usted puede evitar tener que buscarlos?

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La mejor forma que tengo hasta ahora, es simplemente recordar que hay 4 axiomas de la suma, y 4 para la multiplicación.

Answer 1

Es, posiblemente, puede ser más fácil de recordar lo que son los axiomas que faltan con la multiplicación.

Como en, la multiplicación tiene un elemento de identidad, y es asociativa, pero no tiene que ser conmutativa, y no necesita una inversa, mientras que la adición tiene todas estas cosas.

Que sale a la izquierda y a la derecha la distributividad. Y el hecho de que la izquierda y a la derecha la distributividad son llamados por separado puede ayudar a recordar que la multiplicación no tiene que ser conmutativa.

Answer 2

Un anillo es una fusión de dos estructuras básicas, a saber, un grupo abelian (4 axiomas) y un monoid (2 axiomas), compatible a través de leyes distributiva (2 axiomas).

"Estoy trabajando en un problema que me pide para probar que un conjunto es un anillo." - Esto no significa que usted tiene que verificar que todos los anillos axiomas. De hecho, son muchos los "básicos" de los anillos y las construcciones con anillos y, a menudo, la tarea es sólo para darse cuenta de que algo es un sub-anillo de dicho anillo básico. Con el fin de comprobar para un sub-anillo, sólo tenemos que verificar:

• Es $0$ contenidos? Es $1$ contenidos?
• Es el subconjunto cerrado bajo $+$$-$?
• Es el subconjunto cerrado bajo $*$?

Todos los demás axiomas de anillo se heredan automáticamente a partir de los anillos "de arriba". Por ejemplo, para cualquier espacio de $D$, la $\{f : D \to \mathbb{R} : f \text{ continuous}\}$ es un sub-anillo de los "básicos" anillo de todas las funciones $D \to \mathbb{R}$ (con pointwise operaciones) porque de cálculo hechos acerca de las funciones continuas: Constante de las funciones son continuas, y las funciones continuas son cerrados bajo $+,-,*$.

Por desgracia, algunos de los ejercicios que desee a verificar el anillo de los axiomas de la super-artificialmente definido anillos. Por ejemplo, el conjunto $R$ de los pares de $(a,b)$ de los enteros $a,b \in \mathbb{Z}$ con la adición $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$, pero la multiplicación de la $(a,b) *' (c,d) = (ac+2bd,ad+bc)$. Usted puede pasar las páginas con los cálculos, o aprender la construcción general de genera subrings y darse cuenta de que el de arriba anillo es sólo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (el sub-anillo de $\mathbb{R}$ generado por $\sqrt{2}$) en el disfraz, donde $(a,b)$ codifica $a+ b \sqrt{2}$. Desde $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un anillo por razones triviales, lo mismo es cierto para $R$ sin ningún tipo de cálculos necesarios.