Cuando se ultrapowers mejor que "genérico" de la primaria extensiones?

Question

Cuando tomé una presentación del modelo de la teoría de curso hace un par de años, el instructor no hablar de ultrapowers, que me parece justo, dado el modelo contemporáneo de los teóricos de la relativa indiferencia a ultraproducts en general.

Por otro lado, ultrapowers ares a veces se utiliza, por ejemplo, para introducir a los estudiantes de las aplicaciones de los modelos de la teoría, como infinitesimals o lógica modal (para esto, véase, por ejemplo, Blackburn, de Rijke, Venema de la Lógica Modal). Hasta donde yo sé, para estos propósitos, usted realmente no necesita ultrapowers; sólo se necesita suficientemente saturada de primaria extensiones, que pueden ser fácilmente obtenidos por el uso repetido de la compacidad.

(Aparentemente más recientes aplicaciones en álgebra de operadores, pero no estoy seguro de si realmente necesita ultrapowers frente a cualquier suficientemente saturada de primaria extensiones.)

Me imagino que cualquier propiedad que usted desea en su escuela primaria de la extensión (por ejemplo, $\kappa$-grasas saturadas o la omisión de un cierto tipo), es imposible o difícil de lograr que con ultrapowers ya que este último implica intrincado infinita combinatoria.

Así que mi pregunta es: ¿hay situaciones en las que ultarpowers son más deseables que otros tipo de enseñanza primaria de las extensiones?

(Nota: entiendo que hay principalmente conjunto teórico/combinatoria intereses en ultrapowers. Yo también vagamente comprender los usos de ultraproducts; mi pregunta es, específicamente en lo que respecta a ultrapowers.)

Answer 1

Una agradable característica de ultrapowers se refleja en el lema "ultraproducts conmuta con reducts". Esto es, dados dos lenguajes $L\subseteq L'$, una colección de $(M_i)_{i\in I}$ $L'$- estructuras, y un ultrafilter $U$$I$, $(\prod_I M_i/U)|_L = \prod_I (M_i|_L)/U$ $L$- estructuras.

La reformulación de esto, supongamos $M$ $L$- estructura, y $N = M^I/U$ es un ultrapower de $M$ (en particular, $M\prec_L N$). Si ampliamos $M$ $L'$estructura $M'$ mediante la adición de nuevas relaciones o funciones, a continuación, $N$ tiene una canónica de expansión a un $L'$estructura $N' = (M')^I/U$, y todavía tenemos $M'\prec_{L'} N'$.

Por otra parte, esta expansión es totalmente natural. Por ejemplo, mirando a $\mathbb{R}$ y un ultrapower $\mathbb{R}^*$ (el hyperreals), su favorito de la función $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ induce una función de $f^*\colon \mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*$, definido por $f^*([a_i]) = [f(a_i)]$ donde $[a_i]$ es la clase de equivalencia de la secuencia de $(a_i)_{i\in I}$ bajo $U$-equivalencia. Y tenemos $(\mathbb{R},f)\prec (\mathbb{R}^*,f^*)$. Lo mismo vale para las relaciones: si queremos añadir un predicado $Z$ $\mathbb{R}$escoger los números enteros, tenemos $(\mathbb{R},Z)\prec (\mathbb{R}^*,Z^*)$ donde $[a_i]$ satisface $Z^*$ sólo en caso de $U$-casi-todos los de la $a_i$ son enteros.

Sin embargo, otra manera de poner esto es que el canónica de la incorporación de la $M$ en su ultrapower $N$ no solo preservar de primer orden de las fórmulas, pero también existencial de segundo orden fórmulas: Para cualquier tupla $\overline{a}$ $M$ y la nueva relación de los símbolos $R_1,\dots,R_k$ si $M\models \exists R_1,\dots,R_k\,\varphi(\overline{a})$ donde $\varphi$ es de primer orden de la fórmula en el lenguaje de $L' = L\cup \{R_1,\dots,R_k\}$,$N\models \exists R_1,\dots,R_k\,\varphi(\overline{a})$. De esta expandiendo $M$ $L'$relaciones $R_1,\dots,R_k$ presenciando el segundo orden existencial cuantificadores, ampliando $N$ a una $L'$-estructura en la forma canónica, y, a continuación, el uso de $M\prec_{L'} N$. Como Noé señala en los comentarios, a la inversa, no necesariamente (la incrustación $M\to N$ no reflejan necesariamente la verdad existencial de segundo orden fórmulas).

Yo creo que cualquier saturada de primaria de la extensión de $M$ (es decir, saturado en su propio cardinalidad) comparten esta propiedad, y también creo que es posible para $M$ a tener un $\kappa$saturada de primaria ampliación de tamaño de $\lambda>\kappa$ que no esta propiedad. Por desgracia, no tengo pruebas de estos hechos en mente (¿alguien puede suministrar pruebas/contraejemplos?). Pero, en cualquier caso, la expansión de un ultrapower es canónica y fácil de explicar, que es definitivamente una ventaja (especialmente para las personas que quieren saber acerca de los análisis no estándar, pero no saben mucho del modelo de la teoría).

Answer 2

Usted representa una muy buena idea en su pregunta. Escribir,

"Me imagino que cualquiera que sea la propiedad que usted desea en su escuela primaria de la extensión (por ejemplo, $\kappa$-grasas saturadas o la omisión de un cierto tipo), es imposible o difícil de lograr que con ultrapowers ya que este último implica intrincado infinita combinatoria."

Hay una (parcial) de pedidos en el primer fin de teorías que explota esta idea. Esto se conoce como Keisler del Orden y la idea general es algo como esto: Si es muy duro (es decir, uno necesita muy fuerte ultrafilters) para saturar los modelos de una teoría en particular, entonces la teoría es hacia la parte superior de Keisler orden. Si es muy fácil de saturar los modelos de esta teoría (utilizando ultrapowers), entonces esta teoría está en la parte inferior de la orden.

Keisler del orden ilumina importantes líneas divisorias. Por ejemplo, las dos primeras clases en Keisler la Orden de la clase de la estabilidad de las teorías. La investigación sobre Keisler del Orden y simples teorías todavía está en curso, pero ya hay countably muchas clases de vivir aquí (algunas de las cuales corresponden a la "amalgama de problemas"). PIN inestable teorías están en la máxima categoría.