Si $z_{n+1}=\frac{27}{\overline{z_{n}}}+6$$z_1 = 3 + 6i$, luego de encontrar a $z_{n}$

Question

Vamos a la compleja secuencia $\{z_{n}\}$ satisfacer $z_{1}=3+6i$, y $$z_{n+1}=\dfrac{27}{\overline{z_{n}}}+6.$$ Encontrar el $z_{n}$.

Mi idea: ya que $$z_{n+2}=\dfrac{27}{\overline{z_{n+1}}}+6=\dfrac{27}{\dfrac{27}{z_{n}}+6}+6?$$

Así que no puedo. Gracias

Answer 1

1. Primeros términos de la secuencia:

$$ z_1 = 3+6i; $$ $$ z_2 = \dfrac{39}{5}+\dfrac{18}{5}i = {\large 9}-\dfrac{6}{5}+\dfrac{18}{5}i; $$ $$ z_3 = \dfrac{363}{41}+\dfrac{54}{41}i = {\large 9} - \dfrac{6}{41}+\dfrac{54}{41}i; $$ $$ z_4 = \dfrac{3279}{365}+\dfrac{162}{365}i = {\large 9} - \dfrac{6}{365}+\dfrac{162}{365}i; $$ $$ z_5 = \dfrac{29523}{3281}+\dfrac{486}{3281}i = {\large 9} - \dfrac{6}{3281}+\dfrac{486}{3281}i; $$ $$ ... $$

2. Ahora podemos completar el patrón: $$ z_n = {\large 9} - \dfrac{12}{9^{n-1}+1} + \dfrac{4\cdot 3^n}{9^{n-1}+1} i.\la etiqueta{1} $$

3. Queda para aplicar las matemáticas. la inducción para demostrar $(1)$.

Denotar $a_n = \mathbf{Re} z_n, ~~~ b_n = \mathbf{Im} z_n$.

Mostrar que

$$ a_n = 9-\dfrac{12}{9^{n-1}+1} = \dfrac{9^n-3}{9^{n-1}+1}; \etiqueta{2} $$ $$ b_n = \dfrac{4\cdot 3^n}{9^{n-1}+1}. \etiqueta{3} $$

Si se mantiene para algunos $n$, luego

$$ z_{n+1} = \dfrac{27 (a_n+ib_n)}{a_n^2+b_n^2}+6; $$

$$ a_{n+1} = \mathbf{Re} z_{n+1} = \dfrac{27 a_n}{a_n^2+b_n^2}+6; $$ $$ b_{n+1} = \mathbf{Im} z_{n+1} = \dfrac{27 b_n}{a_n^2+b_n^2}; $$

$$ a_n^2+b_n^2 = \dfrac{(9^n-3)^2+ 16\cdot 9^n}{(9^{n-1}+1)^2} = \dfrac{9^{2n}+10\cdot 9^n+9}{(9^{n-1}+1)^2} = \dfrac{(9^n+1)(9^n+9)}{(9^{n-1}+1)^2} = \dfrac{9(9^n+1)}{9^{n-1}+1}; $$

$$ a_{n+1} = \dfrac{27 a_n}{a_n^2+b_n^2}+6 = \dfrac{27(9^n-3)}{9^{n-1}+1} \cdot \dfrac{9^{n-1}+1}{9(9^n+1)} +6 = \dfrac{3(9^n-3)+6(9^n+1)}{9^n+1} = \dfrac{9^{n+1}-3}{9^n+1}; $$ $$ b_{n+1} = \dfrac{27 b_n}{a_n^2+b_n^2} = 27 \cdot \dfrac{4\cdot 3^n}{9^{n-1}+1} \cdot \dfrac{9^{n-1}+1}{9(9^n+1)} = \dfrac{4\cdot 3^{n+1}}{9^n+1}. $$

Eso es todo.

Answer 2

Sugerencia.

Claramente $$ z_{n+2}=\dfrac{27}{\overline{z_{n+1}}}+6=\dfrac{27}{\dfrac{27}{z_{n}}+6}+6= \frac{27z_n}{6z_n+27}+6=\frac{63z_n+162}{6z_n+27}. $$ Establecimiento $x=z_n=z_{n+2}$ y resolviendo la ecuación resultante, obtenemos que $x=9$ es una solución (un punto fijo). En particular, restando el punto fijo, obtenemos $$ z_{n+2}-9=\frac{3(z_n-9)}{2(z_n-9)+27} $$ o $$ \frac{1}{z_{n+2}-9}=\frac{2(z_n-9)+27}{3(z_n-9)}=\frac{2+\frac{27}{z_n-9}}{3}. $$ Configuración $$ w_n=\frac{3}{z_n-9}, $$ usted obtener que $$ w_{n+2}=9w_n+2, $$ y así $$ \frac{w_{n+2}}{3^{n+2}}=\frac{w_n}{3^n}+\frac{2}{3^{n+2}}. $$

Answer 3

Si podemos resolver $$ w_{n+1}=\frac{27}{w_n}+6\etiqueta{1} $$ entonces $$ z_n=\left\{\begin{array}{l} w_n&\text{if %#%#% is odd}\\ \overline{w}_n&\text{if %#%#% is even}\\ \end{array}\right.\la etiqueta{2} $$ $n$ es equivalente a $$ w_{n+1}w_n-6w_n-27=0\etiqueta{3} $$ Si pasamos $n$ $(1)$ a deshacerse de la constante, podemos obtener una ecuación que podemos dividir por $(3)$ para obtener una ecuación lineal en la $u_n=w_n+a$: $$ \begin{align} (u_{n+1}-a)(u_n-a)-6(u_n-a)-27&=0\\ u_{n+1}u_n-au_{n+1}-(a+6)u_n+a^2+6a-27&=0\tag{4} \end{align} $$ Dejando $u_{n+1}u_n$, obtenemos $\frac1{u_n}$. A continuación, $a=3$ se convierte en $$ \begin{align} u_{n+1}u_n-3u_{n+1}-9u_n=0 &\implies\frac1{u_{n+1}}=\frac19-\frac13\frac1{u_n}\\ &\implies\frac1{u_{n+1}}-\frac1{12}=-\frac13\left(\frac1{u_n}-\frac1{12}\right)\\ &\implies\frac1{w_{n+1}+3}-\frac1{12}=-\frac13\left(\frac1{w_n+3}-\frac1{12}\right)\tag{5} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \frac1{w_n+3}-\frac1{12}=\left(-\frac13\right)^{n-1}\left(\frac1{w_1+3}-\frac1{12}\right)\etiqueta{6} $$ El uso de $a^2+6a-27=0$$(4)$, obtenemos $(2)$.

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$(6)$. Conectando a $z_n$ da $$ w_n=\frac{12\left(1+i\left(-\frac13\right)^{n-1}\right)}{1+\left(\frac19\right)^{n-1}}-3\etiqueta{7} $$ A continuación, $w_1=3+6i$ da $$ z_n=\frac{12\left(1+i\left(\frac13\right)^{n-1}\right)}{1+\left(\frac19\right)^{n-1}}-3\etiqueta{8} $$