La diferenciación bajo el signo integral y uniforme de integrabilidad

Question

Deje $(X,\mu)$ ser una medida en el espacio (si es conveniente podemos suponer $\mu$ es finito). Deje $[a,b]$ ser un intervalo, y supongamos que tenemos una función de $f : [a,b] \times X \to \mathbb{R}$ tal forma que:

• Para cada una de las $x \in X$,$f(\cdot, x) \in C^1([a,b])$;

• Para cada una de las $t \in [a,b]$,$f(t, \cdot), \partial_t f(t, \cdot) \in L^1(\mu)$.

(Si ayuda estoy feliz también asumir que $f$ $\partial_t f$ son conjuntamente medibles.)

Set $F(t) = \int_X f(t,x)\, \mu(dx)$. El clásico "diferenciación bajo el signo integral" teorema dice que si asumimos la hipótesis de $$\text{There exists $g \en L^1(\mu)$ such that $\sup_{t \in [a,b]} |\partial_t f(t,x)| \le g(x)$} \tag{DOM}$$ a continuación, $F$ es diferenciable en a$(a,b)$$F'(t) = \int_X \partial_t f(t,x) \,\mu(dx)$. De hecho, se seguiría que $F \in C^1([a,b])$.

Ahora, en muchas situaciones, uno puede debilitar una "dominación" hipótesis " de integrabilidad uniforme. (Por ejemplo, el teorema de convergencia dominada se extiende por el Vitali teorema de convergencia.) Así que supongamos que reemplazar la hipótesis (DOM), con las siguientes: $$\text{$\{\partial_t f(t,\cdot) : t \in [a,b]\}$ is uniformly integrable with respect to $\mu$} \tag{UI}$$ Hace la misma conclusión?

Me gustaría pensar que esto es la norma si es cierto, pero nunca he visto escrito. Pero también no puedo pensar de un contraejemplo.

Me gustaría seguir la prueba de la clásica resultado mediante el siguiente procedimiento: Fix $t_0 \in (a,b)$ y una secuencia arbitraria $t_n \to t_0$ todos $t_n \in (a,b)$. Tenemos $$F'(t_0) = \lim_{n \to \infty} \int_X \frac{f(t_n, x)-f(t_0, x)}{t_n - t_0}\,\mu(dx)$$ si el límite existe, y nos gustaría pasar el límite bajo el signo integral. Esto sería posible si la secuencia de diferencia de cocientes $D_n(x) = \frac{f(t_n, x)-f(t_0, x)}{t_n - t_0}$ fueron uniformemente integrable. Por el valor medio teorema, sabemos que para cada una de las $x$ hay $t_n^*(x) \in (a,b)$ tal que $D_n(x) = \partial_t f(t_n^*(x), x)$. Si pudiéramos elegir $t_n$ independientemente de $x$, $\{D_n\}$ estaría dominado por una interfaz de usuario de secuencia y nos gustaría hacer. Pero por supuesto que no trabajo en general.

Nota: hay un par de no equivalentes definiciones de uniformemente integrable. Yo sería feliz para adoptar el más fuerte, en el que se supone que $\{\partial_t f(t,\cdot) : t \in [a,b]\}$ está delimitado en $L^1$ norma.

(En el caso específico que me importan, $\mu$ es una medida de probabilidad y puedo mostrar $\sup_{t \in [a,b]} \|\partial_t f(t, \cdot)\|_{L^p(\mu)} < \infty$ algunos $p>1$, lo que implica (UI) por el llamado "bola de cristal condición".)

Answer 1

Pensando un poco más, creo que esto es cierto.

Vamos a adoptar el sentido fuerte de la integrabilidad uniforme, y suponga que el $\partial_t f$ conjuntamente medibles.

Set $G(t) = \int_X \partial_t f(t,x) \mu(dx)$. La asunción (IU) asegura que $G$ es continua en a $[a,b]$. La fijación de $t_0$ $[a,b]$ y una secuencia $t_n \to t_0$ dentro $[a,b]$, hemos asumido $\partial_t f(t_n,x) \to \partial_t f(t_0, x)$ por cada $x$, por lo que por Vitali teorema de convergencia que hemos $G(t_n) \to G(t_0)$.

Ahora bien, si adoptamos el sentido fuerte de la integrabilidad uniforme, entonces (IU) implica $$M := \sup_{t \in [a,b]} \int |\partial_t f(t,x)|\,\mu(dx) < \infty.$$ Como tales, tenemos, por cualquier $t \in [a,b]$, $$\int_a^t \int_X |\partial_t f(s,x)|\,\mu(dx)\,ds \le M|t-a| < \infty$$ Así que el teorema de Fubini y el primer teorema fundamental del cálculo da $$\begin{align*} \int_a^t G(s)\,ds &= \int_a^t \int_X \partial_t f(s,x)\,\mu(dx)\,ds \\ &= \int_X \int_a^t \partial_t f(s,x)\,ds\,\mu(dx) \\ &= \int_X (f(t,x) - f(a,x)) \,\mu(dx) \\ &= F(t) - F(a). \end{align*}$$ Por lo $F(t) = F(a) + \int_a^t G(s)\,ds$, para cualquier $t \in [a,b]$. El segundo teorema fundamental del cálculo dice que $F$ es diferenciable en a$(a,b)$$F' = G$. Desde $G$ es continua, $F$$C^1$.