Estaba leyendo el HTT 2.1.4, y me perdí por completo lo que estaba pasando. ¿Podría alguien proporcionar alguna motivación para esta sección? ¿Por qué queremos otra estructura de modelo?
Siento no aportar motivación, pero como ves, soy incapaz de hacerlo.
Aquí hay un enlace a la versión ArXiv: http://arxiv.org/pdf/math/0608040v4
La respuesta rápida es que la estructura del modelo covariante en sSet/S es una forma de construir una categoría infinita de infinitos-copresas en S, cuando S es una categoría infinita. De hecho, no entiendo por qué se introduce primero la estructura covariante del modelo en lugar de la contravariante -es esta última la que se utiliza para construir infinitos-perfiles, que son, por supuesto, ejemplos importantes de infinito-topoi.
(Estoy usando la terminología "infinity-presheaf" para significar un contravariante infinity-functor de S a la infinity-categoría de infinity-groupoids)
Quizá sea mejor recordar lo que ocurre en el caso de las 2 categorías:
Sea C una categoría. Podemos, por un lado, considerar la bicategoría de funtores débiles C^op->Gpd, donde el objetivo es la bicategoría de groupoides. Por otro lado, podemos considerar las categorías fibradas en grupoides sobre C, es decir, un functor D->C que es una fibración de Grothendieck en grupoides. Ambos objetos, presheaves débiles y categorías fibradas respectivamente, forman naturalmente bicategorías.
Tenemos un 2-functor G:Gpd^{C^op}->Fib_Gpd(C) entre estas bicategorías dado por la "construcción de Grothendieck". Tiene un 2-adjunto izquierdo y juntos este par adjunto forma una equivalencia de bicategorías.
Lurie demuestra el análogo del infinito de esta afirmación. Para ello, necesita formar una categoría infinita de "fibraciones de Grothendieck en los grupúsculos", y una categoría infinita de "presheaves infinitos" y demostrar que son equivalentes.
La versión infinita de la fibración de Grothendieck en los grupúsculos es lo que Lurie llama una "fibración derecha". En particular, C->D es una fibración de Grothendieck en groupoides si y sólo si N(C)->N(D) es una fibración derecha. Además, las fibras de cualquier fibración de derecha son complejos de Kan, por lo tanto, groupoides infinitos.
Dado un conjunto simplicial S, la estructura del modelo contravariante sobre sSet/S se enriquece en sSet_Quillen de modo que podemos formar la categoría simplicial completa asociada sobre objetos fibrantes y cofibrantes. Un objeto X->S es fibrante en esta estructura de modelo si y sólo si es una fibración de derecha. Por lo tanto, el nervio homotópico-coherente de esta categoría simplicial es la categoría infinita de "fibraciones de Grothendieck en grupúsculos infinitos sobre S".
En 2.2.1, Lurie introduce un functor St:sSet/S->sSet^{C(S)^op} donde C es el adjunto izquierdo al nervio homotópico-coherente- aquí queremos decir que estamos considerando funtores de categorías simpliciales (tratando sSet como una categoría simplicial ya que está enriquecida sobre sí misma). Como podemos identificar sSet/S con Set^{( \Detla /S)^op} y el functor es preservador del colímite, por tonterías formales tiene un adjunto derecho que Lurie denota por "Un". "Un" es la "construcción infinito-Grothendieck".
Ahora podemos equipar sSet^{C(S)^op} con la estructura del modelo proyectivo, y entonces el par adjunto (St,Un) forma una equivalencia de Quillen.
Ahora, sSet^{C(S)^op} puede convertirse en una categoría infinita aplicando la misma construcción que dije antes: tratarla como una categoría simplicial y restringirla a objetos fibrantes y cofibrantes, y tomar el nervio homotópico-coherente. Esta categoría infinita es la categoría infinita de las prótesis infinitas en S.
La equivalencia de Quillen (St,Un) se convierte en una conjunción entre la categoría de infinitos de las fibraciones derechas sobre S, y la categoría de infinitos de los prensados sobre S, y además es una equivalencia de las categorías de infinitos.
El resultado es que la estructura del modelo contravariante nos da otra forma de describir las prótesis infinitas.
Como nota al margen, para entender por qué la estructura del modelo contravariante está definida de la forma en que lo está, deberías mirar cómo se define el functor St - la estructura del modelo está esencialmente "diseñada" para que (St,Un) se convierta en una equivalencia de Quillen.
Si tiene una categoría $C$ entonces se puede considerar la categoría de funtores $Func(C,Sets)$ de $C$ a los conjuntos. Esto viene con el functor de Yoneda, $C^{op}\to Func(C,Sets)$ y, en general, es algo útil en lo que pensar.
En $(\infty,1)$ -categoría de la tierra, usted quiere comenzar con un $(\infty,1)$ -categoría $S$ y construir el $(\infty,1)$ -categoría de funtores $Func(S,Spaces)$ de $S$ a los espacios.
Lurie describe una forma de hacerlo. Dada una cuasicategoría $S$ produce una categoría de modelo cerrado $(sSet/S, covariant)$ en la categoría de rodajas $sSet/S$ que "modela" esta categoría de funtores.
La analogía es con la construcción de la "categoría de puntos". Dado un functor $F:C\to Sets$ puede crear una categoría $P_F$ cuyos objetos son pares $(c,x)$ donde $c$ es un objeto de $C$ y $x\in F(c)$ y mapas $(c,x)\to (c',x')$ son $f:c\to c'$ en $C$ tal que $Ffx=x'$ . Tal cosa viene con un functor de olvido $U:P_F\to C$ y se puede producir una equivalencia de categorías $$ Func(C,Sets) \qquad \Leftrightarrow\qquad (\text{certain full subcategory of $ Cat/C $}). $$ La subcategoría es la de los funtores $U:D\to C$ de tal manera que dado $f:c\to c'$ en $C$ y $d\in D$ tal que $U(d)=c$ hay un único $g: d\to d'$ en $D$ tal que $U(g)=f$ .
Así, los objetos fibrantes en la categoría de modelo covariante de Lurie para $sSet/S$ se supone que se parecen a las fibraciones izquierdas de Grothendieck, y esta categoría modelo debería modelar " $Func(S,Spaces)$ ".
Editar: En un principio, dije que la subcategoría completa cierta era la de las "fibraciones de Grothendieck de izquierda", pero creo que eso no es correcto. Se puede reproducir la historia anterior de forma un poco más general, con $Sets$ sustituido por $Groupoids$ el functor $P_F\to C$ correspondiente a un (pseudo)functor $F:C\to Groupoids$ es un ejemplo típico de lo que se llama una "fibración de Grothendieck izquierda" (o "groupoide fibrado"), consulte nLab para más detalles.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
