¿Cómo puedo demostrar que este límite no existe? $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} $

Question

¿Cómo puedo demostrar que este límite no existe?

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} $$

Mi intento:

Cuando te acercas desde la izquierda hacia el cero , digamos que tomo -0.00000000000001 . sustituyo en la expresión obtengo (-1) . Pero si tomo 0.000000000001 y sustituyo obtengo (=1) (aplicando L'Hop) . Pero si no hago esto y aplico L'Hop directamente obtengo 1.

Answer 1

El cálculo del límite entre las líneas de abajo es erróneo. La regla de L'Hopital no se aplica. Ver la edición al final de esta respuesta para saber la razón.

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Tenemos

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}$$

donde los dos límites siguientes no existen:

$$\lim_{x\rightarrow 0} f(x)$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} g(x)$$

Así, podemos aplicar la regla de L'Hôpital para obtener

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Encontramos las derivadas

$$f'(x)=g'(x)= -\frac{e^{1/x}}{x^2}$$

Desde $f'(x) = g'(x)$ nos damos cuenta de que $$\frac{f'(x)}{g'(x)}=1$$

Esto implica

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x \rightarrow 0} 1 = \boxed{1}$$

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EDIT: Creo que la regla de L'Hôpital en realidad no se aplica, debido a una sutileza en las condiciones para su aplicación. Mirando el artículo de wikipedia una de las condiciones es que los límites de $f$ y $g$ son $\pm \infty$ pero en su caso el límite de $f$ y el límite de $g$ son ambos inexistentes (no infinitos porque por un lado son $\pm 1$ y por el otro son $\infty$ ).

Answer 2

Mira los límites desde la derecha y la izquierda. La razón de la diferencia es que $\lim_{x\to0+}\frac1x=\infty$ , mientras que $\lim_{x\to0-}\frac1x=-\infty$ : \begin{align*}&\lim_{x\to0+}\frac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}=\lim_{x\to0+}\frac{1-\frac1{e^{1/x}}}{1+\frac1{e^{1/x}}}=\frac{1-\frac1\infty}{1+\frac1\infty}=\frac{1+0}{1-0}=1\\ &\lim_{x\to0-}\frac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}=\frac{e^{-\infty}-1}{e^{-\infty}+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1\end{align*} Así que el límite no existe.

Answer 3

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} $$

Separar en dos límites

$$\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} $$ $$\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} $$

Sustituir $1/x=y$

$$\lim_{y\rightarrow \infty} \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} $$ $$\lim_{y\rightarrow -\infty} \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} $$

Sustituir $e^y=z$

$$\lim_{z\rightarrow \infty} \frac{z - 1}{z + 1} $$ $$\lim_{z\rightarrow 0} \frac{z - 1}{z + 1} =\frac{0-1}{0+1}=-1$$

Por lo tanto, $\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} =-1$

$$\lim_{z\rightarrow \infty} \frac{z - 1}{z + 1} =\frac\infty\infty$$

Utilizar L'Hospital

$$\lim_{z\rightarrow \infty} \frac11=1$$

Por lo tanto, $\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}=1$

Ahora hemos demostrado que los límites izquierdo y derecho no son iguales, por lo tanto el límite no existe.

Answer 4

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0+} \tanh\left(\dfrac{1}{2x}\right)=1$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0-} \tanh\left(\dfrac{1}{2x}\right)=-1$

Answer 5

$\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}= \displaystyle \lim_{y\rightarrow \infty} \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} =1$ Obsérvese que este resultado es el mismo que el obtenido con la regla de L'Hospital

$\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}= \displaystyle \lim_{y\rightarrow -\infty} \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} =-1$

No son iguales. Así que por definición el límite no existe.

También hay que tener en cuenta que la regla de L'Hospital no se aplica para el segundo límite, ya que $\lim_{x\to 0^-}e^{1/x}=0$ así que no es la forma de la regla de L'Hosptial.