Si $(I-T)^{-1}$ existe, puede ser escrita en una serie representación?

Question

Si $X$ es un espacio de Banach, y $T:X \to X$ es un delimitada operador lineal con la norma < $1$, $I-T$ tiene una limitada inversa definida por $(I-T)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty T^n$.

Pensar en términos de un contrario, si $T$ es cualquiera limitada operador lineal definido en $X$, entonces la existencia de una limitada inverso $S=(I-T)^{-1}$ implica que $S$ puede ser representado como $S=\sum_{n=0}^\infty T^n$?

Answer 1

No, ni siquiera en lo finito-dimensional caso. Si $T$ es lineal en el mapa de $\mathbb{R}^n$ a sí mismo con todos los autovalores $>1$ en absoluto valor, $I-T$ es invertible, sino $\sum T^n$ ciertamente no convergen.

Answer 2

Bueno, hay un poco más débil condición que mejora el resultado que usted cita.

Supongamos $T$ es un operador acotado con radio espectral $r(T)< 1$ A continuación, por el espectro de radio fórmula que hemos $$\lim_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n} =\inf_n\|T^n\|^{1/n}=r(T)< 1$$ que garantizar la convergencia de $$\sum_{n=0}^\infty\|T^n\|$$ que a su vez, por la desigualdad de triángulo, de límites $$\left\|\sum_{n=0}^\infty T^n\right\|$$ Ahora, es un ejercicio para demostrar que $$\sum_{n=0}^\infty T^n=(I-T)^{-1}$$ Si hay alguna duda no dudes en preguntar.. **Edit:** Por el álgebra de Banach inequidad que tenemos $\|T^n\|\le\|T\|^n$, lo que significa que $$r(T)=\inf_k\|T^k\|^{1/k}\le\|T^n\|^{1/n}\le\|T\|$$ Por lo tanto $\|T\|<1$ implica que no sólo se $r(T)<1$, pero también se $r(T)\le\|T\|<1$. Además, este no es el caso en el ejemplo de Robin arriba, porque también tenemos $r(T)=\sup{|\lambda|:\lambda\in\sigma(T)}$ donde $\sigma(T)$ es el espectro de $T$ (el conjunto de todos los $\lambda\in\mathbb{C}$ tal que $\lambda I-T$ es no invertible) y el eigenvaules de $T$ es, sin duda, en el espectro. (Tenga en cuenta que $r(T)$ es el radio de la menor cerró los discos que contienen $\sigma(T)$ - de ahí el nombre espectral de la radio).