Estoy tratando de probar la existencia de una solución débil del problema: $$ -\Delta^2 u = f \en L^2(U)\\ \\ u|_{\partial U}=\Delta u|_{\partial U} = 0 $$ en el conjunto abierto acotado $U\subset\mathbb{R}^n$ a que lisa límite. La débil formulación de la siguiente manera a partir de la multiplicación por la función de prueba de $v$ y la integración por partes:
$$ \int_U fv\,dx= \int_U \, (\Delta^2 u) v\, dx= \int_U \Delta u \Delta v \, dx + \int_{\partial U} (v \frac{\partial \Delta u}{\partial n} - \frac{\partial v}{\partial n}\Delta u)dS. $$ El segundo límite se desvanece para$\Delta u|_{\partial U} = 0$, y para hacer el primer término de desaparecer requerimos $v$ a estar en el espacio de Sobolev $H^1_0(U)\cap H^2(U)$, por lo que el $v=0$ sobre el límite.
Por lo tanto, $u\in H^1_0(U)\cap H^2(U)$ es una solución débil si: $$ \int_U \Delta u \Delta v \, dx = \int_U fv\,dx\,\,\,\, \forall v\in H^1_0(U)\cap H^2(U). $$
Ahora quiero usar el de Lax-Milgram teorema sobre la forma bilineal $B[u,v]=\int_U \Delta u \Delta v \, dx$. Mi problema es: ¿qué norma en $H^1_0(U)\cap H^2(U)$ debo usar? Al principio pensé que podría utilizar cualquiera de las normas de $H^1_0(U)$ o $H^2(U)$, ya que claramente $H^1_0(U)\cap H^2(U)$ es un subespacio cerrado de ambos espacios. Sin embargo, me di cuenta de que este argumento debe ser malo, de lo contrario, podría también utilizar la norma de la subespacio $H^{8}(U)$ y a la conclusión de que existe una solución débil en ese espacio.
O debo usar Lax Milgram tanto $H^1_0(U)$ $H^2(U)$ y a la conclusión de que la solución débil está en su intersección?
Mi segundo problema: demostrar la coercitividad de $B[u,v]$, creo que tengo una desigualdad como $\int_U |\Delta u|^2 dx \geq C\int_U u^2 dx$ para algunas constantes $C$. Sé que esto tiene para $u\in H^2_0(U)$ pero no veo por qué esto debe mantener en la $H^1_0(U)\cap H^2(U)$?
