Deje $S\subset [0,1]^2$ ser incontables. Hay una línea que contiene una infinidad de puntos de $S$?

Question

Si no, ¿a cuántos puntos se puede garantizar?

También, no estoy seguro acerca de mi etiqueta. Este es un bonito tema general. Pensé Topología General está cerca.

EDITAR: Alguien parafraseado esta muy bien. "Vamos a $S\subset [0,1]^2$ ser incontables. Hay una línea que contiene una infinidad de puntos de $S$?"

Answer 1

Sugerencia: Piense en un círculo $S$ dentro $[0,1]\times [0,1].$

Answer 2

Hay un subconjunto $S$ del tamaño de la $\omega_1$ de la unidad cuadrada tal que cualquier línea que contiene al menos dos puntos de $S$. Empezar eligiendo dos puntos de la plaza. Dibujar la línea a través de ellos. Escoge un tercer punto, evitando la línea que dibujó. Dibujar las líneas de la nueva punto a través de todos los puntos anteriores. Escoger el próximo punto de evitar todas las líneas que dibujaste. Continuar por inducción transfinita hasta que usted ha $\omega_1$ puntos. En todas las etapas de la construcción se han usado solo una contables número de puntos, por lo que hay una contables número de líneas dibujadas. Como medida de Lebesgue es countably aditivo, el área de todas las líneas es cero, por lo que no hay puntos para continuar.