Estoy aprendiendo sobre varios métodos de procesamiento de señales en mi curso universitario, y no consigo entender qué representa la "energía" en las señales. Es decir, sé que es la integral del valor absoluto de la energía al cuadrado (pregunta al margen: ¿por qué se necesita el valor absoluto?), pero no sé el significado de lo que es esta energía. ¿Hay alguna forma intuitiva de pensar en estas energías? Muchas gracias.
Respuestas
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La energía es la que lleva la señal.
El valor absoluto se debe probablemente a que las amplitudes de las señales suelen representarse con fasores especialmente en el contexto de la radiación electromagnética o en el contexto del procesamiento mediante el análisis de Fourier. Y como utiliza números complejos, y el cuadrado de un número complejo $z^2$ no es lo mismo que su "valor absoluto al cuadrado $|z|^2$ (caso más sencillo, tomar $z = -i$ , la unidad imaginaria, entonces el primero es -1 y el segundo 1$), en la formla se acostumbra a escribir un valor absoluto.
El hecho de que asociemos la energía con el cuadrado de la amplitud de la onda se debe al modelo mecánico de ondas de pequeña amplitud de d'Alembert. Esencialmente, el medio ondulatorio se considera como un conjunto de resortes acoplados. Para los resortes, con la ley de Hooke tenemos que la energía mecánica es proporcional al cuadrado de la amplitud del desplazamiento. La analogía de que el desplazamiento del medio debido a la onda debe ser bien aproximado por un simple resorte nos lleva a tomar la energía mecánica infinitesimal asociada a un trozo infinitesimal del medio como el cuadrado de la amplitud de la onda. Así que sumando todo se obtiene una integral.
Dan Walker
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Intento dar una explicación en los dominios del tiempo y la frecuencia, como normalmente utilizados en los sistemas de telecomunicación.
Si se tiene un proceso físico descrito en el tiempo por un señal $s(t)$ como una tensión o corriente eléctrica, la descripción en el dominio de la frecuencia viene dada por su espectro
$$\overrightarrow{S}(\omega )=\frac{1}{% 2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-i\omega t}dt$$
La señal es $$% s(t)=\int_{-\infty }^{\infty }\overrightarrow{S}(\omega )e^{-i\omega t}d\omega ,$$
donde $\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T}$ es la frecuencia angular.
La función $\overrightarrow{S}(\omega )$ es el Transformada de Fourier de $s(t)$ y $s(t)$ es la transformada inversa. Nota: a definición de la pareja $(s(t),\overrightarrow{S}(\omega ))$ con diferentes factores constantes es posible.
La "actividad energética" durante el intervalo de tiempo infinitesimal $% \delta t$ es $\delta E=s^{2}(t)\delta t$ ( excluyendo una constante con dimensiones físicas dimensiones (véase la nota siguiente). La potencia instantánea es $$p(t)=\underset{\delta t\rightarrow 0% }{\lim }\frac{\delta E}{\delta t}=s^{2}(t).$$
Por lo tanto, la "energía" del proceso completo es
$$E=\int_{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)dt=2\pi \int_{-\infty }^{\infty }S^{2}(\omega )d\omega ,$$
donde $S(\omega )=\left\vert \overrightarrow{S}(\omega )\right\vert $ y $\overrightarrow{S}(\omega )=S(\omega )e^{i\psi (\omega )}$ es la distribución o espectro con las propiedades $S(-\omega )=S(\omega )$ , $\psi (-\omega )=\psi (\omega ).$ La igualdad entre ambas integrales se conoce como Teorema de Parseval .
Nota sobre las dimensiones físicas . por ejemplo, en circuitos eléctricos el producto de una tensión $V$ por una corriente $I$ es una potencia (energía/tiempo). Por la ley de Ohm, en los circuitos de corriente continua, $V=RI$ y $VI=RI^2=\dfrac{1}{R}V^2$ en los circuitos de corriente alterna $| \overrightarrow{V}|| \overrightarrow{I}|=R |\overrightarrow{I}|^2$ .
"La densidad espectral de potencia (PSD) (...) describe cómo la potencia de un señal o serie temporal se distribuye con la frecuencia. La potencia puede ser la potencia física real, o más a menudo por conveniencia con señales abstractas, puede definirse como el valor al cuadrado de la señal, es decir, como la potencia real potencia disipada en una carga si la señal fuera una tensión aplicada a ella".
palehorse
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La potencia eléctrica en un circuito resistivo viene dada por $P = I V$ . Frecuentemente se tiene una resistencia fija (o más en general, una impedancia), por lo que la tensión y la corriente son variables; tomando la tensión como variable independiente, tenemos $P = V^2/R$ . Esto da la potencia instantánea (energía sobre la unidad de tiempo), y por lo tanto también da la potencia media (o energía sobre algún intervalo de tiempo finito) si la tensión es constante (corriente continua). Cuando la tensión varía peridocalmente en el tiempo (por ejemplo, la corriente alterna), la ecuación anterior se aplica a cada instante de tiempo ( $ P(t) = V(t)^2/R $ ) , por lo que, para obtener la potencia media en un periodo hay que integrar ( ver aquí ). Por eso la energía de la CA se mide normalmente en unidades RMS: una toma de corriente de 120V da una sinuosidad de aproximadamente 170V de tensión de pico: esa sinuosidad tiene la misma energía como una tensión constante de 120V.
Este es el caso de las señales eléctricas, pero la analogía se aplica en otros campos.
Otra motivación (relacionada) proviene del Teorema de Parseval
