Integral en $\mathbb R^3$ $\Gamma$- función

Question

Cómo puede uno mostrar esta igualdad? $$ \iiint_V x^{- 1}y^{b-1}z^{c-1}\,dxdydz = \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(a+b+c+1)}, $$ donde $V$ es simplex $x\geqslant0, y\geqslant0, z\geqslant0, x+y+z\leqslant1 $.

Lo único que he pensado es el cambio de variable, en alguna manera, pero no me ayuda.

Answer 1

Que en realidad es bastante buena. Si conoce la Teoría Cuántica de campos que usted puede haber oído de Feynman parámetros? Vienen en práctico aquí (cuidado con rigor, soy un físico :D) Así que, ¿cómo se puede demostrar la anterior? Primera nota

$$\frac{1}{AB}=\int_{0}^1dxdy \delta(x+y-1)\frac{1}{(xA+yB)^2}.$$ Esto puede ser demostrado de forma directa. Por otra parte, se puede generalizar

$$\frac{1}{A_1\cdots A_n}=\int_0^1 dx_1 \cdots dx_n \delta\left(\sum_i x_i -1\right)\frac{(n-1)!}{(x_1A_1+\ldots+x_nA_n)^n}$$ (Prueba por inducción.)

Ahora, se puede diferenciar wrt a la $A_i$ encontrar

$$\frac{1}{A_1^{m_1} \cdots A_n^{m_n}}=\int_0^1 dx_1 \cdots dx_n \delta\left(\sum_i x_i-1\right)\frac{\prod_i x_i^{m_i-1}}{\left(\sum_i x_i A_i\right)^{\sum m_i}}\cdot \frac{\Gamma(m_1+\ldots+m_n)}{\Gamma(m_1)\Gamma(m_2) \cdots \Gamma(m_n)}.$$

Conjunto de todos los $A_i$ a uno y que tienen esencialmente su declaración. Esto también se indica en la QFT libro de Peskin/Schroeder en la p. 190.

Answer 2

Aquí es cómo la solución,

$$ I=\iiint_V x^{a-1}y^{b-1}z^{c-1}\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{1}x^{a-1}dx\int_{0}^{1-x}y^{b-1}dy\int_{0}^{1-x-y}z^{c-1}dz $$

Añadió:

$$I = \frac{1}{c}\int_{0}^{1}x^{a-1}dx\int_{0}^{1-x}y^{b-1}(1-x-y)^c\,dy $$

Mediante el cambio de variables $t=\frac{y}{1-x}$ y la beta de la función después de factorizando $(1-x)$, tenemos

$$ I = \frac{1}{c}{\frac{\Gamma\left( c \right) \Gamma \left( b \right) }{\Gamma\left(c+b+1 \right) }} \int_{0}^{1}x^{- 1}(1-x)^{c+b}\,dx $$

$$ I = {\frac{\Gamma\left( c \right) \Gamma \left( b \right) }{\Gamma\left(c+b+1 \right) }}\frac{\Gamma(a)\Gamma(c+b+1)}{\Gamma(a+b+c+1)} = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(a+b+c+1)}.$$

Nota: La función beta se define como

$$ \beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \!,\quad \textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0.\, $$

Answer 3

Te acuerdas de la beta-función? $B(z,w)=\displaystyle \int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{w-1} dt$, que se va a utilizar y hacer algunas sustituciones. Usted toma la integral de una en una, mientras que hacer la sustitución y ver lo que sucede. Estoy seguro de que lo va a conseguir.