$I+J=R$ donde $R$ es un conmutativa rng, demostrar que $IJ=I\cap J$.

Question

Así que, básicamente, tienen que demostrar de lo que es en el título. Dado $R$ un conmutativa rng (un anillo que puede no contener una $1$), con la propiedad de que $I+J=R$, (donde $I$ $J$ son ideales) hemos de probar que $$IJ=I\cap J$$One inclusion is easy. If $x\in IJ$, then $x=\sum a_ib_i$ where $a_i\I$ and $b_i\J$. Thus for any fixed $i$, we have that since $a_i\I$, we have that $a_ib_i\I$, and the same argument shows that $a_ib_i\J$, thus $\sum a_ib_i\I$ and $\sum a_ib_i\J$, this means that $x=\sum a_ib_i\I\cap J$, and thus $IJ\subconjunto I\cap J$.

Estoy teniendo problemas para probar la otra inclusión. Cualquier comentario?

Gracias

Answer 1

Edit: Recupera y ampliado como por mis comentarios.

La declaración de que usted está tratando de demostrar que solo es necesariamente cierto para los anillos conmutativos. En este caso, se puede argumentar que el $$I\cap J= (I\cap J)R=(I\cap J)(I+J)=I(I\cap J)+ J(I\cap J)\subseteq IJ+ IJ=IJ$$ pero el paso clave $(I\cap J)R$ descompone en general generadores de números aleatorios.

Un contraejemplo a la declaración general de los generadores de números aleatorios es dada por dotar al grupo de $\mathbb Z$ con el producto cero, que es la definición de $a\cdot b=0,\forall a,b\in\mathbb Z$. Los ideales $(2)$ $(3)$ son todavía comaximal, como para cualquier $x\in\mathbb Z$ podemos escribir $x=a\times 2+b\times 3$ algunos $a,b\in\mathbb Z$ donde $\times$ denota regular la multiplicación, y la $a\times 2=a+\cdots+a\in(2)$ donde la suma se realiza $a$ a veces, y de manera similar a $b\times 3\in (3)$. Pero $(2)\cap (3)=(6)\neq (0)$, sin embargo, claramente $(2)(3)=(0)$.