Grupo con exactamente seis Sylow de 5 subgrupos?

Question

Dar un ejemplo de un grupo con exactamente seis Sylow de 5 subgrupos.

Creo $A_5$ funciona porque tiene 6 subgrupos de orden 5:

$\langle(12345)\rangle,\langle(12354)\rangle, \langle(12435)\rangle, \langle(12453)\rangle, \langle(12534)\rangle, \langle(12543)\rangle$. Esto es correcto? Hay un simple grupo que se reúne estos requisitos?

Answer 1

Su idea de $A_5$ es buena. $|A_5| = 60 = 5*12$, por lo que el uso de los Teoremas de Sylow, $n_5 = 1$ o $n_5 = 6$ (donde $n_5$ es el número de $5$-subgrupos de Sylow). $n_5 \neq 1$ desde el si $n_5=1$, tendría que $5$-subgrupo de Sylow es normal, una contradicción de la simplicidad de $A_5$.

Por lo tanto,$n_5 = 6$.

En su pregunta declaración en la que explícitamente se muestran los subgrupos, que personalmente me agrada como una solución, ya que no requieren el uso de el hecho de que $A_5$ es simple.