Deje $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ser continua. Si $f^2$ $f^3$ son de la analítica de demostrar que $f$ es analítica en todos los puntos de $\mathbb{C}$.
si $f^2$ no tiene ningún cero, a continuación, $f=f^3/f^2$ y, a continuación, es analítico.pero si $f^2$ cero, entonces ¿cómo puedo proceder.me ayudan por favor.
Supongamos que $f^2$ $f^3$ tiene ceros de orden $n$$m$$z_0$, por lo que el $f(z)^2=(z-z_0)^n g(z)$ $f(z)^3=(z-z_0)^m h(z)$ cerca de $z_0$, $g$ $h$ analítica de las funciones que $g(z_0)\neq0$$h(z_0)\neq0$.
A continuación,$f(z)^6=(f(z)^2)^3=(z-z_0)^{3n} g(z)^3$$f(z)^6=(f(z)^3)^2=(z-z_0)^{2m} h(z)^2$. De ello se desprende que para $z$ cerca, pero diferente de la $z_0$, $$(z-z_0)^{3n-2m}=\frac{h(z)^2}{g(z)^3}.$$ Since $hg$ is not zero near $z_0$, the right hand side here is as analytic near $z_0$ and does not vanish there, so that $3n=2m$. In particual, $m=\frac32n>n$ and the quotient $f^3/f^2$ is analytic at $z_0$.
En un valor distinto de cero puntos esto es fácil.
A cero los puntos de $f$, ver el $f^6$. Desde $f^6 = (f^2)^3$, es analítico y sus ceros tiene multiplicidad divisible por $3$. Pero desde $f^6 = (f^3)^2$, su ceros tiene multiplicidad divisible por $2$. Por lo tanto, su ceros tiene multiplicidad divisible por $6$ y llegar a la conclusión de que $f$ es analítica, puesto que $\displaystyle f = \frac {f^6} {f^2 \cdot f^3}$.
Edición: Mariano Suárez-Alvarez respuesta es la misma, pero más detallada.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
