Sería como una función de alguna importancia (prueba de primalidad)?

Question

Mientras que la experimentación con algunos de Matemáticas, se me ocurrió una genial función.

Vamos a llamar a esta función $\space \beta \space$. Que es una función de una variable real $\space r \space $.

Esta es la función:

$$\beta (r) = \tan \Bigg({\pi \over 2 } - {{4 \pi \Gamma(r)} \over r} \Bigg)$$

Donde $\space \Gamma(r) \space $ es la Función Gamma.

Aquí es ¿por qué esta función es genial.

Tomemos $\space \beta (z) \space$ donde $\space z \space$ es un entero positivo.

Bien, $\space \beta (z) \space$ sólo está bien definida SI Y SÓLO SI $\space z \space$ es un primo MAYOR que $\space 2$ (tengo una prueba de esto, no me acaba de asumir).

Así que cuando $\space z \space$ no es primo, $\space \beta (z) \space$ es indefinido.

Sería este servicio de NINGUNA importancia en absoluto? Vale la pena mencionar?

De cualquier manera, me pareció bastante bien y espero que a vosotros también :).

Answer 1

Si la pregunta es acerca de la utilidad de esta función como una prueba de primalidad (como supuse en los comentarios y el OP parecía estar de acuerdo conmigo), entonces es probable que sea aún menos útil que la del teorema de Wilson por su propia cuenta.

La primalidad pruebas son necesarias sólo para realmente grandes números. En primer lugar, este consiste en calcular el factorial de los números grandes. Y la segunda, por los grandes números de la función se hace más grande (en valor absoluto), lo que hace más difícil distinguir el caso finito de lo infinito.

Es más conveniente utilizar el recíproco de la función:

$$\frac{1}{\beta(r)}=\cot \left(\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi \Gamma(r)}{r} \right)=\tan \left(\frac{4\pi \Gamma(r)}{r} \right)$$

Entonces será cero para cada entero $r$ si $r$ es primo.

Pero! Su valor absoluto va a disminuir constantemente con el aumento de la $r$, por lo que es difícil determinar si una determinada gran número es primo. Ver la lista de la parcela hasta el $r=100$: