Los autovalores de una matriz $A$ $e^{A}$

Question

Si sé que los autovalores de a $e^{A}$, lo que puedo decir acerca de los valores propios de a $A$ sí?

Answer 1

Si $A$ es triangular superior, entonces es fácil: a continuación, $e^A$ es triangular superior, y los elementos de la diagonal de a $e^A$ son las exponenciales de los elementos de la diagonal de a $A$.

Pero este es siempre el caso, porque se puede elegir una base en la que $A$ está en la forma canónica de Jordan (que es, en particular, triangular superior).

Así que los autovalores de a $A$ son los logaritmos de los valores propios de a $e^A$.

Pero ten cuidado de que los autovalores de a $A$ puede ser complejo, incluso si $A$ $e^A$ son reales, y no son necesariamente los principales logaritmos de $e^A$'s valores propios. Por ejemplo, si $A=\pmatrix{0&2\pi\\-2\pi&0}$$e^A=I$, pero los autovalores de a$A$$\pm 2\pi i$.

Answer 2

La exponencial de un bloque de Jordan $$ \begin{bmatrix} \lambda&1&0&0&\dots\\ 0&\lambda&1&0&\dots\\ 0&0&\lambda&1&\dots\\ 0&0&0&\lambda&\dots\\ &&\vdots&&\ddots \end{bmatrix}\etiqueta{1} $$ es $$ e^\lambda\begin{bmatrix} 1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}&\frac{1}{3!}&\dots\\ 0&1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}&\dots\\ 0&0&1&\frac{1}{1!}&\dots\\ 0&0&0&1&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{bmatrix}\etiqueta{2} $$ Dado que la Forma Normal de Jordan de una matriz está compuesta de bloques de Jordan $(1)$ a lo largo de la diagonal, y del mismo modo se coloca bloques cuadrados a lo largo de la diagonal no interactúan cuando se suman o se multiplican, la exponencial de la Forma Normal de Jordan consiste exponencial bloques de $(2)$ a lo largo de la diagonal.

Si $A=PJP^{-1}$,$e^A=Pe^JP^{-1}$. Por lo tanto, si los autovalores de a$A$$\{\lambda_j\}$, los autovalores de a$e^A$$\{e^{\lambda_j}\}$. Sin embargo, al igual que con los logaritmos, si los autovalores de a $e^A$ son conocidos, los autovalores de a $A$ conocen hasta un múltiplo de $2\pi i$.