Sea $\Omega$ sea un subconjunto abierto acotado de $\mathbb{R^3}$ y $f$ estar en $L^2(\Omega)$ ¿Existe una solución débil en $W^{1,2}_0(\Omega)$

Question

Sea $\Omega$ sea un subconjunto abierto acotado de $\mathbb{R^3}$ y $f$ estar en $L^2(\Omega)$ . ¿Existe una solución débil en $W^{1,2}_0(\Omega)$ a la siguiente ecuación:

\begin{cases} \Delta u+\dfrac{1}{1+u^{2}}=f & \mathrm{in}\;\Omega\\ u=0 & \mathrm{on\;}\partial\Omega \end{cases}

Ayúdame con algunas pistas para empezar.

Gracias por adelantado.

Answer 1

De hecho, la idea del guacho funciona:

Sea $\varphi(v)\in W^{1,2}_0(\Omega)$ sea una solución débil de $$ \Delta u+\frac{1}{1+v^2}=f. $$ Existe una solución tan débil como este medio para $\varphi(v)$ que $$ -\int_\Omega \nabla\varphi(v)\cdot\nabla w\,dx= \int_{\Omega}\left(f-\frac{1}{1+v^2}\right)w\,dx \quad\text{for all $ w\in W^{1,2}_0(\Omega) $}. $$ Y como $\ell(w)=-\int_{\Omega}\left(f-\frac{1}{1+v^2}\right)w\,dx$ es una lineal acotada sobre $W^{1,2}_0(\Omega)$ entonces existe un $\varphi(v)\in W^{1,2}_0(\Omega)$ , tal que $$ \ell(w)=\langle w,\varphi(v)\rangle_{W^{1,2}_0(\Omega)}=\int_\Omega \nabla\varphi(v)\cdot\nabla w\,dx. $$ No olvide que $W^{1,2}_0(\Omega)$ es un espacio de Hilbert con producto interior $\langle w,w'\rangle_{W^{1,2}_0(\Omega)}=\int_\Omega \nabla w\cdot\nabla w'\,dx$ .

También, $\|\varphi(v)\|_{W^{1,2}_0(\Omega)}=\|\ell\|\le \|f\|_{L^2}+\|1\|_{L^2}=M.$ Por lo tanto, el funcional no lineal $\varphi$ mapas $L^2(\Omega)$ en $$ B=\{w\in {W^{1,2}_0(\Omega)}: \|w\|_{{W^{1,2}_0(\Omega)}}\le M\}. $$ Ahora $B\subset \{u\in L^2(\Omega) : \|u\|_{L^2}\le N\}$ para algunos $N>0$ debido a Desigualdad de Poincaré. En particular, $\varphi$ mapas $B$ en $B$ y $\varphi[B]\subset B$ . Pero $B$ es un subconjunto compacto de $L^2(\Omega)$ debido a Teorema de la compacidad de Rellich . Por lo tanto, Teorema del punto fijo de Schauder garantiza un punto fijo $u$ para $\varphi$ . Claramente $u\in L^2(\Omega)$ pero $u=\varphi(u)\in B\subset W^{1,2}_0(\Omega)$ .

Ὅπερ ἔδει δεῖξαι (=quod erat demostrantum).

Answer 2

Intentemos esto: Si consideras $$ \Delta u + \frac{1}{1+v^2}=f $$ para $v\in W^{1,2}_0$ se puede aplicar el teorema habitual de Lax-Milgram para la formulación débil. Obsérvese entonces que el límite para $u$ no depende en $v$ . Por tanto, existe un límite débil en $W^{1,2}_0$ . Ahora usa la compacidad. Todo debería estar bien con este enfoque, ¿no?