Deje $f$ ser toda una función en el plano complejo $\mathbb C$, suponga que $$|f(z)|\le e^{|z|}.$$ Does the property $$|f(x)|\le e^{-|x|}, \qquad x\in\mathbb R,$$ imply $f\equiv 0$?
De manera más general, caracterizar la clase de majorants $w$ sobre la línea real, para que $|f(x)|\le w(x)$ rendimientos $f\equiv 0$.
La estimación sobre la línea real implica que $f\in L^2(\mathbb R)$. Por lo tanto, $f$ pertenece a la Paley-Wiener espacio de $PW_1$, que es el de Fourier de la imagen de $L^2(-1, 1)$. Por lo tanto, la función de $e^{iz}f$ pertenece a los Hardy clase $H^2$ en la mitad superior del plano -$\mathbb C_+$, que es la transformada de Fourier de la imagen de $L^2(0, +\infty)$. Si $f\not\equiv 0$, esto produce la condición $$\int_{\mathbb R}\frac{|\log |f(x)||\,dx}{1+x^2}<\infty.$$ By the assumption, $\registro |f(x)|\le -|x|$, which contradicts the preceding formula. Hence $f\equiv 0$.
Este argumento funciona si $w\in L^2$, $w\le 1$, y $\int_{\mathbb R}\frac{\log\frac{1}{w(x)}\, dx}{1+x^2}=\infty$.
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