Corte de rama para $\log (-z)$

Question

Estoy tratando de entender la ubicación del corte de la rama para 2 ramas particulares de $\log (-z)$ .

Supuestamente, si restringimos $\arg (-z)$ a $0 \le \arg(-z) < 2 \pi $ tenemos que omitir la media línea $(-\infty,0]$ .

Y si restringimos $\arg(-z)$ a $-\pi \le \arg(-z) < \pi$ tenemos que omitir la media línea $[0,\infty)$ .

Eso me parece al revés.

EDITAR :

En el primer caso, el corte de la rama es a lo largo del eje real negativo porque es donde $-z$ es positivo y real.

Y en el segundo caso, el corte de la rama es a lo largo del eje real positivo porque es donde $-z$ es negativo y real.

Answer 1

Le gustaría describir $\log$ como función inversa de $e$ . Así que le gustaría decir que $\log(re^{i\theta}) = \log r + i \theta$ .

Pero entonces tienes un problema porque $\theta$ sólo se define hasta $2\pi$ . Conclusión : todo logaritmo en $\mathbb C$ tiene un corte en el argumento. Pero no en el radio, por lo que el corte es siempre una media línea. Esta media línea corresponde a donde se empieza a contar el argumento.

Por ejemplo, en tu primer ejemplo, empiezas a contar en $\rm{arg}$ $(z)= 0$ es decir, la media línea $[0, +\infty[$ .

En tu segundo ejemplo, empiezas en $\rm{arg}$ $(z) = \pi$ , que es la media línea $]-\infty, 0]$ .

Answer 2

Para añadir a la buena respuesta de Damien: de hecho, hay más opciones, que a veces son útiles. A saber, siempre y cuando se "corte" a lo largo de algún camino (no auto-intersectivo) que conecte los dos puntos "malos" para log, 0 y $\infty$ se puede definir un registro inequívoco de lo que queda (por $\log(z)=\int_\gamma dz/z$ , donde $\gamma$ es un camino desde $1$ a $z$ que no se cruza con su corte).

Y mirando a $\log(-z)$ en realidad no cambia nada: podrías usar el mismo corte de siempre, si quisieras, ya que el objetivo es desambiguar (de una forma u otra, de la manera simple habitual como describe Damien, o, posiblemente, de una manera más complicada para adaptarse a las circunstancias).

Editar: añadido en respuesta al comentario... Es no es precisamente cierto que $\arg(-z)=\arg(-1)+\arg(z)$ como números debido a la ambigüedad (por $2\pi\mathbb Z$ ) en ambos "arg". En este sentido, ¿queremos $\arg(-z)=\arg(z)+\pi$ o queremos $\arg(z)-\pi$ ? Se puede argumentar a favor de ambas cosas. No hay ninguna obligación de elegir uno u otro.

Y, volviendo al punto más general, no hay ninguna obligación de que el "corte" sea una línea recta de 0 a $\infty$ .

Un ejemplo para ilustrar que nuestros "cortes" no tienen realmente ningún impacto en los objetos matemáticos en sí: sabemos que una serie de potencias para una función holomorfa converge hasta la primera "singularidad". Bien. Consideremos la serie de potencias de $\log(z)$ en $-4+3i$ . Si creemos que de alguna manera el plano se "corta" a lo largo del eje real negativo, pensaríamos que el radio de convergencia sería $3$ . Sin embargo, es $5$ . La función ignora por completo nuestro "corte".