Muestran que el coseno de $\theta$ $\frac{1 - t^2}{1 + t^2}$. ¿Dónde estoy fallando?

Question

Recientemente he recogido el libro de Matemáticas y es la Historia de John Stillwell debido a una reciente curiosidad en la historia de las matemáticas.

Empecé a hacer uno de los ejercicios en el libro y tiene un poco confundido (lo admito, estoy muy oxidado en matemáticas).

Me piden que utilice esta figura ...

... para demostrar que $\cos \theta = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}$.

Yo con la etiqueta de la parte inferior de la menor triángulo $a$, y el lado derecho de la menor triángulo $b$, lo que hace que la parte inferior de la gran triángulo $1 + a$.

En estos términos, $\cos \theta = a$, ya que la hipotenusa de los más pequeños triángulo es $1$.

Yo también vino con las siguientes ecuaciones:

$$ a^2 + b^2 = 1 $$ $$ (a + 1)^2 + b^2 = t^2 $$

La solución de la primera ecuación de $b$ le da: $$ b = \sqrt{1 - a^2} $$

Sustituyendo esta ecuación en la segunda ecuación anterior se obtiene: $$ (a + 1)^2 + (\sqrt{1 - a^2})^2 = t^2 $$ $$ a^2 + 2a + 1 + 1 - a^2 = t^2 $$ $$ 2a + 2 = t^2 $$ $$ a = \frac{t^2 - 2}{2} $$

Como usted puede decir, $\frac{t^2 - 2}{2}$ no es igual a la $\frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.

Cuando me va mal en mi lógica? Gracias!

Answer 1

Usted nunca dice lo $t$ es. Supongo que es la pendiente de la línea. Ya que es una línea que pasa a través de$(-1,0)$$(\cos\theta,\sin\theta)$, usted tiene $t=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$. Por eso,$$t^2=\frac{1-\cos^2\theta}{(1+\cos\theta)^2}$$y por lo tanto\begin{align}\frac{1-t^2}{1+t^2}&=\frac{(1+\cos\theta)^2-1+\cos^2\theta}{(1+\cos\theta)^2+1-\cos^2\theta}\\&=\frac{2\cos^2\theta+2\cos\theta}{2+2\cos\theta}\\&=\cos\theta.\end{align}