Pregunta: Vamos a $a_1=0, a_2=3$, y, para todos los $n \geq 3$ deje $a_n = \frac{1}{2} (a_{n-1}+a_{n-2})$
La secuencia de $(a_n)$ dijo ser definido de forma recursiva.
en $n$, muestran que, para todos los $n \geq 2$,
$$a_n=2+4 \left(\frac{-1}{2}\right)^n$$
Y deducir que $(a_n) \rightarrow 2$
Mi intento:
$ a_1 = 0 , a_2 = 3 , \ldots $
$\forall n \geq 3$ deje $a_n = \frac{1}{2}(a_{n-1} + a_{n-2})$
Mostrar de forma inductiva que $\forall n \geq 2$
$ a_n = 2 + 4(- \frac{1}{2})^n $
Y deducir que $(a_n) \rightarrow 2$
Por lo $\ldots$
vamos $n$ = $3$ a continuación, $a_3 = \frac{1}{2}(a_2 + a_{1}) = \frac{1}{2}(3 + 0) = \frac{3}{2}$
Esto es igual a $2 + 4(- \frac{1}{2})^3$, por lo que este contiene.
Asumir que esto es hasta el$n = k$,$n = k + 1$;
$a_{k + 1} = \frac{1}{2}(a_k + a_{k-1})$
$a_k$ es conocido como $a_k = 2 + 4(- \frac{1}{2})^k$
Y $a_{k - 1}$ es también conocido como $a_{k - 1}= 2 + 4(- \frac{1}{2})^{k - 1}$
de modo que me han
$2a_{k+1} = (a_k + a_{k-1})$, y subbing en los valores anteriores para $a_k$ y $a_{k-1}$ da
$2a_{k+1} = ((2 + 4(- \frac{1}{2})^k) + (2 + 4(- \frac{1}{2})^{k - 1}))$
Que puede ser simplificado a
$a_{k+1} = (1 + 2(- \frac{1}{2})^k + 1 + 2(- \frac{1}{2})^{k - 1})$
y
$a_{k+1} = 2 + 2(- \frac{1}{2})^k + 2(- \frac{1}{2})^{k - 1}$
El uso de exponente leyes para $ 2(- \frac{1}{2})^{k - 1}$ da
\begin{equation*} \begin{aligned} 2(- \frac{1}{2})^{k - 1} &= 2(-\frac{1}{2})^{k} \times (- \frac{1}{2})^{-1} \\ &= 2(-\frac{1}{2})^{k} \times (-2) \\ &= -4(-\frac{1}{2})^{k} \\ \end{aligned} \end{ecuación*}
Subbing a $a_{k+1} = 2 + 2(- \frac{1}{2})^k + 2(- \frac{1}{2})^{k - 1}$ como
\begin{equation*} \begin{aligned} a_{k+1} &= 2 + 2(- \frac{1}{2})^k -4(-\frac{1}{2})^{k} \\ &= 2 - 2(- \frac{1}{2})^k \end{aligned} \end{ecuación*}
Si la inducción tiene entonces
$ a_{k + 1} = 2 - 2(- \frac{1}{2})^k = 2 + 4(- \frac{1}{2})^{k + 1}$
El uso de leyes de energía en $ 4(- \frac{1}{2})^{k + 1}$ da
\begin{equation*} \begin{aligned} 4(- \frac{1}{2})^{k + 1} &= 4(- \frac{1}{2})^{k } \times (- \frac{1}{2})^{1} \\ &= 4(- \frac{1}{2})^{k } \times (- \frac{1}{2}) \\ &= -2(- \frac{1}{2})^{k } \\ \end{aligned} \end{ecuación*}
Utilizando este resultado da
\begin{equation*} \begin{aligned} a_{k + 1} &= 2 - 2(- \frac{1}{2})^k \\ &= 2 + 4(- \frac{1}{2})^{k + 1} \\ &= 2 -2(- \frac{1}{2})^{k } \\ \end{aligned} \end{ecuación*}
Como se requiere.
Por lo tanto, por la hipótesis inductiva $\forall n \geq 2, a_n = 2 + 4(- \frac{1}{2})^n $
Deducir que $(a_n) \rightarrow 2$
Si $(a_n) \rightarrow 2$$n \rightarrow \infty, a_n \rightarrow 2$. Por lo que el límite de la secuencia es $2$.
Utilizando la definición de convergencia:
$\forall \epsilon > 0$ existen números naturales $N,n$ donde $n>N$ tal que $|2 + 4(- \frac{1}{2})^n - 2| < \epsilon$
Que se simplifica a $|4(- \frac{1}{2})^n| < \epsilon$ $4(\frac{1}{2})^n < \epsilon$
Entonces, dado $\epsilon > 0$ elija $N$ tales que el valor mínimo de $N$ es $\log_2(\frac{4}{\epsilon})$ tal que para todos los $n > N, a_n < \epsilon$
Esto puede ser visto como
\begin{equation*} \begin{aligned} N &> \log_2(\frac{4}{\epsilon}) \\ 2^N &> \frac{4}{\epsilon} \\ \frac{1}{2^N} &< \frac{\epsilon}{4} \\ \frac{4}{2^N} &< \epsilon \\ \end{aligned} \end{ecuación*}
Como se requiere.
Esto demuestra que $a_n \rightarrow 2$
No estoy seguro si esto es correcto, pero podría alguien por favor revise y si hay una forma más fácil de probar esto que me haga saber!
