Este es un simple intento como una prueba de la Conjetura de Collatz, tal como se define en la Wikipedia. Debo decirte que yo no soy un experto en matemáticas y lo hice sólo por diversión. Surelly tiene graves defectos, acabo de curiosidad por saber lo que podrían ser.
Introducción
La conjetura es verdadera si todos los números naturales hará que la sucesión converge a 1 después de un número finito de aplicaciones de la función recursiva $f$, la informática, la $n/2$ si $n$ es aún, y $3n+1$ si $n$ es impar.
Un útil la observación
Una útil la observación es que si vale para $n \geq 2$ un número par, entonces debe ser cierto para $f(n)=n/2$, ya que es el siguiente número en la sucesión. De forma análoga, si vale para $n \geq 3$ un número impar, entonces debe ser cierto para $f(n)=3n+1$ demasiado, ya que es el siguiente en la cadena. En ambos casos, también la conjetura sigue siendo cierto para $2n$ el número anterior de la cadena, que es el si $a_i=n$,$f(a_{i-1})=f(2n)=a_i=n$, ya que el $2n$ siempre va a ser, incluso, y es de la misma cadena que el $n$.
Prueba
La conjetura de Collatz tiene para todos los números naturales, y que la sucesión es finita (la convergencia para llegar a 1 requiere un número finito de pasos).
Voy a proceder por inducción en $a_0=n$ naturales $n \geq 1$.
Caso Base $a_0=1$: La sucesión va: $a_0=1; a_1=3.1+1=4; a_2=2; a_3=1$. También la sucesión convergente en 3 pasos.
Inductivo hipótesis: La sucesión es finita siempre converge a 1.
El paso inductivo se divide en dos sub casos: el $n$ o, incluso, el $n$ es impar.
Inductivo caso: $n \geq 2$ es un número par: Esto significa que existe un número natural $q < n$ tal que $a_0=n=2q$. A continuación, el siguiente número de la sucesión es $a_1=f(a_0)=f(2q)=2q/2=q$. Como $q < n$, luego por hipótesis inductiva supongamos que, para $q$ la sucesión convergente en $s$ pasos, para $n$ debe converger es $s+1$ pasos.
Inductivo caso: $n \geq 3$ es un número impar: Esto significa que el número inicial de la sucesión es $a_0=n$, un número impar. Se puede construir una virtual sucesión mediante el número de $a_{-1}=2n$, que es un número par, y es de la misma cadena en la sucesión, ya que $f(a_{-1})=a_0$. Como se muestra anteriormente, la hipótesis se aplica incluso para los números, por lo que es cierto para el número de $2n$, y por lo tanto para $n$ ya que es un paso más en la sucesión.
