¿Resolver una ecuación diferencial de primer orden matriz no homogénea?

Question

Dado que no los desplazamientos de las matrices $A$ $B$ orden $n$, hay una forma cerrada de la solución a la ecuación diferencial $$\frac{dX}{dt} = AX + tBX$$ with $X(0) = I$?

Sé que para los reales, $x = a \exp{\int f(t)}$ es la solución general a $\dot{x} = f(t)x$, pero también estoy 99% seguro de que esto se basa en la commutivity de los reales.

Yo soy más específicamente buscando para calcular numéricamente $X(T)$ dado el más general de la ecuación diferencial $$\frac{dX}{dt} = f(t)X,\;\;X(0)=I$$ but in circumstances where $f'(t)$ may be large and a $1$st order piecewise approximation would be far more accurate than $0$th order for any given $\Delta t$. Ultimately my concern is computing $X(T)$ tan pronto como sea posible.

Hay mejores técnicas para lograr esto?

Answer 1

Usted puede utilizar el Dyson serie de resolver la ecuación como $$\frac{d}{dt}X(t)=A(t)X(t)$$ Donde$X:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{C}^{n}$$A:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{M}_{n\times{n}}(\mathbb{C})$. Primero vamos a $$X(t)=U(t)X(0)=U(t)I$$ Donde $U:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{M}_{n\times{n}}(\mathbb{C})$, de tal manera que $U(0)=I$ (para que coincida con las condiciones iniciales), así $$\frac{d}{dt}U(t)=A(t)U(t)$$ Esto puede ser convertida a una ecuación integral $$U(t)=I+\int_{0}^{t}dt_{1}A(t_{1})U(t_{1})$$ El von-Neumann expansión que puede ser escrito $$U(t)=I+\int_{0}^{t}dt_{1}A(t_{1})+\int_{0}^{t}dt_{1}\int_{0}^{t_{1}}dt_{2}A(t_{1})A(t_{2})+\int_{0}^{t}dt_{1}\int_{0}^{t_{1}}dt_{2}\int_{0}^{t_{2}}dt_{3}A(t_{1})A(t_{2})A(t_{3})+..$$ $$=I+\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{t}dt_{1}...\int_{0}^{t_{k-1}}dt_{k}\mathcal{T}[A(t_{1})...A(t_{k})]$$ Esta serie es conocida como la de la serie de dyson. No $\mathcal{T}[.]$ es el momento de pedido del operador, es decir,$\mathcal{T}[A(t_{3})A(t_{1})A(t_{2})]=A(t_{1})A(t_{2})A(t_{3})$, es así lo requiriesen como el matricies tomadas en diferentes momentos no conmutan, es decir, en el ejemplo,$[A+tB, A+t'B]=(t-t')[B, A]$. La condición de convergencia para $t\in[0, \tau]$ puede ser demostrado ser $$\int_{0}^{\tau}||A(t)||_{2}dt<\pi$$ Uno puede, además, muestran que esta serie es equaivalent el llamado tiempo ordenó exponencial $$U(t)=\mathcal{T}\Big[\exp\Big(\int_{0}^{t}A(s)ds\Big)\Big]=\exp\Big(\sum_{k=1}^{\infty}\Omega(t)\Big)$$ Con $$\Omega_{1}(t)=\int_{0}^{t}dt_{1}A(t_{1})$$ $$\Omega_{2}(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}dt_{1}\int_{0}^{t_{1}}dt_{2}[A(t_{1}), A(t_{2})]$$ $$\Omega_{3}(t)=\frac{1}{6}\int_{0}^{t}dt_{1}\int_{0}^{t_{1}}dt_{2}\int_{0}^{t_{2}}dt_{3}([A(t_{1}), [A(t_{2}), A(t_{3})]]-[A(t_{3}), [A(t_{2}), A(t_{1})]])$$ $$...$$ Esta serie es conocida como Magnus de la serie, tiene el mismo convergencia condiciones y puede ser demostrado ser equivalentes a los Dyson.