En realidad, la Aritmética de Peano no únicamente determinan $\mathbb{N}$, incluso si usted arreglar la cardinalidad de la estructura que desee (también llamado un modelo). Estos son los llamados "no-estándar" modelos de PA, y hay un montón de ellos: $2^{\aleph_0}$ para ser más precisos. Todos ellos parecen final "extensiones" de $\mathbb{N}$. Es decir,$\mathbb{N}$, además de un montón de cosas al final. Hay algunas cosas que usted puede decir acerca de lo que un modelo se parece y cómo su aritmética se comporta. Leer más acerca de esto aquí.
Ese vínculo también se muestra cómo mostrar que tales modelos existen, pero permítanme esbozar una construcción aquí usando el teorema de la incompletitud de Gödel. Gödel demostró, entre otras cosas, que existe una lógica de la frase $G$ que es verdad en $\mathbb{N}$, pero no puede ser probada o refutada a partir de los axiomas de la PA. Por lo tanto, si tenemos en cuenta los axiomas PA $+ \neg G$, Peano Aritmética, además de la de la negación de la $G$, esto es consistente, y por lo tanto tiene un modelo estándar de los resultados en la lógica. Por supuesto, cualquier modelo de PA $+ \neg G$ también cumple la PA, pero este modelo no está de acuerdo con $\mathbb{N}$ sobre la verdad de $G$, por lo que no pueden ser isomorfos.
Para entrar un poco más en detalle acerca de su pregunta como un todo, permítanme explicar lo que Peter Smith trajo hasta en los comentarios. Existe una noción de un "countably categórico" o "$\omega$ - categórico" de la teoría. Esta es una colección de axiomas donde cada contables modelo es isomorfo. Usted puede pensar en esto como el único determinante de un (contables) de la estructura. Dada una colección de axiomas (que vamos a llamar la teoría de la), es de interés para determinar cuándo es o no es $\omega$-categorial, cómo muchos de los modelos que hay, y tal vez la cantidad de "variación" no puede ser. Hay muchas condiciones equivalentes para $\omega$-categoricity descritos aquí, pero voy a tratar de daros algo de contexto antes de enviar a usted a leer la Wikipedia.
Usted puede pensar en una teoría como el sistema operativo básico detrás de su modelo. La teoría dice que lo axiomas debe satisfacer. Sin embargo, hay todo tipo de posibles extra de los paquetes de software que se puede instalar. Estos paquetes adicionales son llamados "tipos". Algunos de estos tipos no son compatibles con tu sistema operativo, así que usted da para arriba en ellos de inmediato. Algunos paquetes de software que son compatibles con su sistema operativo, pero no el uno con el otro. Cada "tipo" de las promesas que la existencia de una colección de objetos especiales en el modelo. Un $1$-el tipo le da un elemento especial, mientras que un general $n$-el tipo le da una colección de $n$ elementos de satisfacer ciertas propiedades con respecto a cada uno de los otros, y el modelo en general. A menos que me equivoco, no creo que los tipos son la última palabra sobre la cuestión de la no-isomorfo modelos, pero que son sin duda importantes para ese fin. La comprensión de qué clase de tipos son compatibles con nuestra teoría, y en qué combinación, nos dice mucho sobre el tipo de modelos de nuestra teoría puede tener.
