Ideal para $m$ máxima y principal, no hay ideal entre las $m^2$$m$. Demostrar que esto puede ser falso al $m$ no es principal o máxima.

Question

Demostrar que el ideal de $m$ máxima y principal, no hay ideal $I$ tal que $m^2 \subsetneq I \subsetneq m$. Mostrar que esto puede ser falso cuando $m$ no es principal o máxima.

Supongamos $\mathfrak m=(a)$, e $a\notin I$. Vamos a demostrar que $I\subseteq\mathfrak m^2$. Pick $x\in I$. Entonces $x=ay$, $y\in R$. Si $y\in\mathfrak m$, $y=az$ e lo $x=a^2z\in\mathfrak m^2$. De lo contrario, $\mathfrak m+(y)=R$, lo $1=am+yn$. A continuación,$a=a^2m+ayn$, lo $a=a^2m+xn\in I$, una contradicción.
Esto prueba la primera parte, pero no sé cómo hacer el segundo.

Answer 1

Se puede encontrar un ideal $I$ tal que $(x^2,xy,y^2)=(x,y)^2\subsetneq I\subsetneq (x,y)$? (El ideal $\mathfrak m=(x,y)$ es máxima en $K[x,y]$, pero no principal.)

La misma pregunta para $36\mathbb Z\subsetneq I\subsetneq 6\mathbb Z$. (El ideal $6\mathbb Z$ que es lo principal, pero no máxima en $\mathbb Z$.)