Fácil de primaria prueba de Farkas Lema?

Question

¿Hay algún primaria prueba de Farkas lema que no hace uso de análisis convexo y hyperplane teorema de separación?

Lo que sobre el caso especial de abajo:

Si la Matriz $A$ es invertible, entonces es evidente que existe un único vector de $x$, de tal manera que $Ax=b$, es difícil mostrar que cualquiera de las $x$ es no negativo, o hay un vector $y$ tal que $y^tA \geq 0$$y^t b<0$?

Answer 1

Para este caso particular, hay una solución muy simple. Deje $e_1,\ldots,e_n$ ser la base canónica de $\mathbb{R}^n$.

Si $A$ es invertible, entonces la única soultion para$Ax=b$$A^{-1}b$.

Si el vector $A^{-1}b$ tiene una entrada negativa entonces existe $e_i$ tal que $e_i^tA^{-1}b<0$.

Ahora, desde la $A$ es invertible existe $y$ tal que $y^tA=e_i^t\geq 0$.

Finalmente, $y^tb=y^tAA^{-1}b=e_i^tA^{-1}b<0$.