La integración de función desconocida, donde $f \in C(\mathbb{R})$

Question

Dado que $f\in C(\mathbb{R})$, $f(5) = 2$ y $f(2) = -2$, evaluar la siguiente integral $$ \int_{2}^5 \frac{f'(x) \sin(f(x))}{1 + f^2(x)}\mathrm{d}x. $$

Me imagino que debo de integración por partes, donde $$v'(x)=\frac{f'(x) }{1 + f^2(x)}$$ y $$u(x) = \sin(f(x))\,,$$ pero se me para nada tengo una integral de $\arctan$ veces $\cos$ que no sé cómo resolver.

Answer 1

Poner $f(x)=t$, por lo que su integral se convierte en $$\int_{-2}^2\frac{\sin t}{1+t^2}dt$$ Making $$F(t)=\frac{\sin t}{1+t^2}\text{ you can see that}\space F(t)=-F(-t)$$ therefore you have for all $t_0$ $$\int_{-t_0}^{t_0}F(t)dt=0$$ Thus the integral is equal to $0$ for the particular case $t_0=2$ (which corresponds to $f(2)=-2$ and $f(5)=2$ y se han puesto como los valores de la nueva de la integral definida anteriormente).