¿Existe un espacio vectorial real de dimensión incontable X tal que (X,\|\cdot\|) es un espacio completo para cualquier norma \|\cdot\| en él?
No. En todo espacio vectorial real (o complejo) de dimensión infinita, hay normas comparables pero no equivalentes, es decir, hay normas \lVert\,\cdot\,\rVert_1 y \lVert\,\cdot\,\rVert_2 con
\lVert x\rVert_1 \leqslant \lVert x\rVert_2
para todos x\in X pero no hay C \in (0,+\infty) con
\lVert x\rVert_2 \leqslant C\cdot \lVert x\rVert_1
para todos x\in X . Por el teorema de los mapas abiertos, a lo sumo uno de \lVert\,\cdot\,\rVert_1 y \lVert\,\cdot\,\rVert_2 puede hacer X en un espacio de Banach.
Para ver la existencia de tales normas, considere una base de Hamel \{ e_{\alpha} : \alpha \in A\} de X y tomar dos funciones f_1,\,f_2 \colon A \to (0,+\infty) con f_1(\alpha) \leqslant f_2(\alpha) para todos \alpha\in A y \frac{f_2(\alpha)}{f_1(\alpha)} sin límites. Entonces defina
\Biggl\lVert \sum_{\alpha \in A} c_{\alpha}\cdot e_{\alpha}\Biggr\rVert_i = \max \{ f_i(\alpha)\cdot \lvert c_\alpha\rvert : \alpha \in A\}.
Sabía que para cualquier espacio vectorial de dimensión infinita, existen normas comparables pero no equivalentes; la conexión con la exhaustividad era, de hecho, el teorema del mapa abierto. Una respuesta impresionante. Muchas gracias.
@Daniel Fischer, ¿demuestra esto que un espacio de dimensión infinita es completo con una norma como máximo?
@SahibaArora No, puede haber muchas normas no equivalentes que hagan de un espacio de dimensión infinita un espacio de Banach. Por ejemplo todos los espacios \ell^p(\mathbb{N}), \, 1 \leqslant p \leqslant +\infty tienen la misma dimensión algebraica, 2^{\aleph_0} y, por tanto, todos son algebraicamente isomorfos. Para cada p , dejemos que f_p \colon \ell^1(\mathbb{N}) \to \ell^p(\mathbb{N}) sea un isomorfismo (como espacios vectoriales, no como espacios normados), y sea \lVert x\rVert_{p} := \lVert f_p(x)\rVert_{\ell^p(\mathbb{N})} . Entonces cada una de estas normas hace \ell^1(\mathbb{N}) un espacio de Banach, pero no hay dos equivalentes.
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