¿Existe un espacio vectorial real de dimensión incontable $X$ tal que $(X,\|\cdot\|)$ es un espacio completo para cualquier norma $\|\cdot\|$ en él?
No. En todo espacio vectorial real (o complejo) de dimensión infinita, hay normas comparables pero no equivalentes, es decir, hay normas $\lVert\,\cdot\,\rVert_1$ y $\lVert\,\cdot\,\rVert_2$ con
$$\lVert x\rVert_1 \leqslant \lVert x\rVert_2$$
para todos $x\in X$ pero no hay $C \in (0,+\infty)$ con
$$\lVert x\rVert_2 \leqslant C\cdot \lVert x\rVert_1$$
para todos $x\in X$ . Por el teorema de los mapas abiertos, a lo sumo uno de $\lVert\,\cdot\,\rVert_1$ y $\lVert\,\cdot\,\rVert_2$ puede hacer $X$ en un espacio de Banach.
Para ver la existencia de tales normas, considere una base de Hamel $\{ e_{\alpha} : \alpha \in A\}$ de $X$ y tomar dos funciones $f_1,\,f_2 \colon A \to (0,+\infty)$ con $f_1(\alpha) \leqslant f_2(\alpha)$ para todos $\alpha\in A$ y $\frac{f_2(\alpha)}{f_1(\alpha)}$ sin límites. Entonces defina
$$\Biggl\lVert \sum_{\alpha \in A} c_{\alpha}\cdot e_{\alpha}\Biggr\rVert_i = \max \{ f_i(\alpha)\cdot \lvert c_\alpha\rvert : \alpha \in A\}.$$
Sabía que para cualquier espacio vectorial de dimensión infinita, existen normas comparables pero no equivalentes; la conexión con la exhaustividad era, de hecho, el teorema del mapa abierto. Una respuesta impresionante. Muchas gracias.
@Daniel Fischer, ¿demuestra esto que un espacio de dimensión infinita es completo con una norma como máximo?
@SahibaArora No, puede haber muchas normas no equivalentes que hagan de un espacio de dimensión infinita un espacio de Banach. Por ejemplo todos los espacios $\ell^p(\mathbb{N}), \, 1 \leqslant p \leqslant +\infty$ tienen la misma dimensión algebraica, $2^{\aleph_0}$ y, por tanto, todos son algebraicamente isomorfos. Para cada $p$ , dejemos que $f_p \colon \ell^1(\mathbb{N}) \to \ell^p(\mathbb{N})$ sea un isomorfismo (como espacios vectoriales, no como espacios normados), y sea $\lVert x\rVert_{p} := \lVert f_p(x)\rVert_{\ell^p(\mathbb{N})}$ . Entonces cada una de estas normas hace $\ell^1(\mathbb{N})$ un espacio de Banach, pero no hay dos equivalentes.
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