Encuentre todas las funciones completas que satisfacen $|f(z)| \le C^{Im(z)}$

Question

Encuentra todas las funciones enteras que satisfacen: $$|f(z)| \le C^{Im(z)}$$ para un $C$ positivo

Mi solución:

Dije que si $f(z)$ es entera, entonces $e^{-if}$ también es entera, y además: $h(z)=\frac{f}{e^{-if}}$ es entera. ($|e^{-if}|>0$) entonces: $$|h(z)|=\frac{|f|}{|e^{-if}|}=\frac{|f|}{e^{Im(z)}}

así que de acuerdo a Liouville h(z) está acotada y es entera. entonces es constante. si tomamos la derivada de $h(z)$:

$$h'(z)=\frac{f'e^{-if}+ie^{-if}f}{(e^{-if})^2}=0$$

y de aquí obtenemos que $f'(z)=0$ y $f(z)=0$.

¿Algunos comentarios?

Answer 1

Sea $C=e^a$, donde $a\in\mathbb R$. Tenemos $$ |\,f(z)|\le C^{\mathrm{Im}\,z}=|e^{iaz}| $$ y por lo tanto $$ |\,e^{iaz}f(z)|\le 1. $$ Así, por virtud del Teorema de Liouville, $e^{iaz}f(z)$ es constante.

Por lo tanto, $f(z)=ce^{-iaz}$, para algún $|c|\le 1$, y $a\in\mathbb R$.