$\newcommand{\nv}[1]{{\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert #1\right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}}\newcommand{\veps}{\varepsilon}$Deje $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia de Cauchy en $(X,\nv{\cdot})$, y para cada $n\in\mathbf{N}$ escribir en la base de Schauder, $$y_n=\sum_{i=1}^{\infty}a^{(n)}_ix_i.$$
Para cualquier fija $i\in\mathbf{N}$ que $$|a_i^{(n)}-a_i^{(m)}|\|x_i\|=\|(a_i^{(n)}-a_i^{(m)})x_i\|\leq\left\|\sum_{j=1}^{i}(a_j^{(n)}-a_j^{(m)})x_j\right\|+\left\|\sum_{j=1}^{i-1}(a_j^{(n)}-a_j^{(m)})x_j\right\|\leq 2\nv{y_n-y_m}.$$
Desde $x_i\neq 0$, podemos deducir que $\{a_i^{(n)}\}_{n\in\mathbf{N}}$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbf{R}$, y por lo $a_i^{(n)}\to a_i$ para algunos secuencia de escalares $a_i$.
Ahora fix $\veps>0$ . Desde $\{y_n\}$ es de Cauchy con respecto a $\nv{\cdot}$ existe alguna $N_0\in\mathbf{N}$ tal que para todo $n,m\geq N_0$ $\nv{y_n-y_m}<\veps/3$. Ahora arreglar cualquier $m\geq N_0$, $M\in\mathbf{N}$, y para todos los $n\in\mathbf{N}$ definir $$z_n^{m,M}=\sum_{i=1}^{M}(a_i^{(n)}-a_i^{(m)})x_i.$$ We see that $\|z_n^{m,M}\|\leq\nv{y_n-y_m}<\pev/3$ for all $n\geq N_0$. Since $z_n^{m,M}\z^{m,M}:=\sum_{i=1}^{M}(a_i-a_i^{(m)})x_i$ as $n\to\infty$ we see that $\|z^{m,M}\|\leq\pev/3$. Since $M$ was arbitrary we see that for all $m\geq N_0$, \begin{align}
\sup_{M}\left\|\sum_{i=1}^{M}(a_i - a_i^{(m)})x_i\right\|\leq\frac{\veps}{3}.\tag{1}
\end{align}
Ahora nos muestran que la $\sum_{i=1}^{\infty}a_ix_i$ converge en $(X,\|\cdot\|)$. Solucionar cualquier $m\geq N_0$ y desde $y_m\in X$ vemos que $\sum_{i=1}^{\infty}a_i^{(m)}x_i$ es convergente en $X$, y así la cola de la secuencia puede hacerse arbitrariamente pequeña. Rigurosamente, existe alguna $N_1\in\mathbf{N}$ tal que $M_2>M_2>N_1$ implica $$\left\|\sum_{i=M_1}^{M_2}a_i^{(m)}x_i\right\|<\frac{\veps}{3}.$$ The triangle inequality gives us $$
\left\|\sum_{i=M_1}^{M_2}a_ix_i\right\| = \left\|\sum_{i=M_1}^{M_2}a_i^{(m)}x_i + \sum_{i=1}^{M_2}(a_i-a_i^{(m)})x_i - \sum_{i=1}^{M_1-1}(a_i-a_i^{(m)})x_i\right\|\leq\veps.$$ Hence $\{\sum_{i=1}^{n}a_ix_i\}_{n\in\mathbf{N}}$ is a Cauchy sequence in $(X,\|\cdot\|)$; since $X$ is complete, $y:=\sum_{i=1}^{\infty}a_ix_i$ converges in $X$.
En vista de lo anterior convergencia y (1) vemos que $\nv{y-y_m}\leq\veps/3$ todos los $m\geq N_0$. Desde $\veps$ fue arbitraria $y_m\to y$ $m\to\infty$ con respecto al $\nv{\cdot}$, el cual establece que la integridad de $(X,\nv{\cdot})$.
