¿Cuándo un subespacio de operadores es la extensión de los operadores de Kraus?

Question

Dejemos que $A$ y $B$ sean espacios de Hilbert de dimensión finita, y sea $\mathcal{L}(A \to B)$ sea el espacio de operadores lineales de $A$ a $B$ . Digamos que un subespacio $K \subseteq \mathcal{L}(A \to B)$ es un span de operadores Kraus si hay operadores $\{K_i\}$ tal que $\sum_i K_i^\dagger K_i = I$ y $K = \textrm{span}_i\{K_i\}$ .

Equivalentemente, $K$ es un span de operadores de Kraus si existe un espacio de Hilbert auxiliar $C$ y una isometría $J:A \to B \otimes C$ tal que $K = \textrm{span}_{\left| \psi \right> \in C} \{ (I \otimes \left<\psi\right|) J \}$ .

¿Existen condiciones necesarias y suficientes no triviales (y ojalá simples) para que un subespacio de operadores $K$ ser un tramo de operadores Kraus? La única condición necesaria que se me ocurre es que $I \in K^\dagger K := \textrm{span}\{ x^\dagger y : x \in K, y \in K \}$ pero esto no es suficiente.

Answer 1

Considere un espacio $\textrm{span}_j\{L_j\}$ con el $\{L_j\}$ linealmente independientes. Se trata de un tramo de operadores de Kraus si se puede escribir como $\textrm{span}_i\{K_i\}$ con el $K_i$ siendo operadores de Kraus. Esto es posible si y sólo si existe un conjunto de operadores de Kraus $\{K_i\}$ tal que $K_i = \sum_j F_{ij} L_j$ para alguna matriz $F$ con apoyo total (es decir $F^\dagger F$ invertible). Aplicando la condición de cierre de los operadores de Kraus, esto se convierte en $\sum_i K_i^\dagger K_i = \sum_{ijj'} (F_{ij'} L_{j'})^\dagger (F_{ij} L_j) = I$ , o lo que es lo mismo $\sum_{jj'} (F^\dagger F)_{j'j} L_{j'}^\dagger L_j = I$ . Así que se busca una matriz definida positiva $M$ tal que $\sum_{jj'} M_{j'j} L_{j'}^\dagger L_j = I$ . El problema se reduce entonces a encontrar un operador definido positivo que satisfaga una restricción afín. Nótese que esto es equivalente a encontrar un operador definido positivo que sea perpendicular al espacio $\textrm{span}\{ \sum_{jj'} \textrm{Tr}(X L_{j'}^\dagger L_j)^* \left|j'\right>\left<j\right| : \textrm{Tr}(X)=0 \}$ .

En cambio, si uno está interesado en saber si $\textrm{span}\{ L_j \}$ contiene un tramo de operadores de Kraus, entonces busca operadores semidefinidos positivos no nulos $M$ en lugar de operadores definidos positivos.

Desgraciadamente no conozco la complejidad computacional de encontrar un operador (semi)definido positivo que se encuentre dentro de un subespacio. Sin embargo, un solucionador de SDP debería encontrar dicho operador PSD (o un certificado de su inexistencia) para casos no patológicos.