Raíces reales de$x^4+2x^3-3x^2-3x+2$

Question

$a,b,c,d \in \mathbb{R}$ son las raíces reales de$x^4+2x^3-3x^2-3x+2$.

Calcular$a^3+b^3+c^3+d^3$.

Con la aproximación descubrí, que$a^3+b^3+c^3+d^3 = -17$, pero ¿cómo puedo probar eso sin calcular exactamente las raíces?

Aclamaciones

Answer 1

Express $a^3 + b^3 + c^3 + d^3$ en términos de primaria simétrica polinomios y el uso de las fórmulas de Vieta.

También, aquí es un enfoque alternativo para los fans de álgebra lineal. Considere la posibilidad de una matriz $$ A = \left(\matriz{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 3 & -2}\a la derecha). $$ Un trivial de verificación muestra que su polinomio característico es igual a $$ \det (A - \lambda I) = \lambda^4 + 2\lambda^3 - 3\lambda^2 - 3\lambda + 2. $$ Por lo $a,b,c,d$ son la característica de las raíces de $A$. A continuación, sus cubos son característicos de las raíces de $A^3$ (como fácilmente se desprende de, digamos, la existencia de una forma normal de Jordan). Entonces $$ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = \operatorname{Tr} a^3 = -17. $$

Answer 2

Como la ecuación bicuadrática tiene exactamente$4$ roots, todos$a,b,c,d$ son reales

Claramente, $abcd\ne0$

y$\displaystyle a^4+2a^3-3a^2-3a+2=0\implies a^3+2a^2-3a-3=-\frac2a$

Del mismo modo, para$b,c,d$

Sumando obtenemos$\sum a^3+2\sum a^2-3\sum a-3\sum 1=-2\sum \frac 1a$

Ahora, necesitamos

$\sum a$

$\displaystyle\sum\frac1a=\frac{\sum abc}{abcd}$

$\displaystyle\sum a^2=(\sum a)^2-2\sum ab$

Las fórmulas de Vieta requieren uso

Answer 3

gracias por tu ayuda.

$P(x) = x^4 + 2x^3 -3x^2 -3x + 2:$

$\sigma_1 = -2$

$\sigma_2 = -3$

$\sigma_3 = 3$

$\sigma_4 = 2$

$a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = \sigma_1^3 - 3*\sigma_1 * \sigma_2 + 3 * \sigma_3$

Obtenemos: $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = (-2)^3 - 3 * (-2) * (-3) + 3 * 3 = -17$