Establecer la convergencia de la serie: $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-...$

Question

Establecer la convergencia de la serie: $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-...$ El número de señales aumenta de uno en uno en cada "bloque".

Yo tengo una idea. Grupo de la serie como esta: $1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-...$

Podemos mostrar que $1, \frac{1}{2}+\frac{1}{3},\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6},...$ converge a 0. Estoy tratando de utilizar de Dirichlet en la Prueba. Sin embargo, no estoy seguro de si esta secuencia es decreciente.

Alguna idea? O cualquier otro método para establecer la convergencia?

Answer 1

Si no me estoy equivocando, tu serie es

$$1-\frac 1 2 -\frac 13+\frac 14+\frac 15+\frac 16-\frac 17-\frac 18-\frac 19-\frac 1{10}+++++\begin{align} a_0&=(-1)^0 1 \\ a_1&=(-1)^1\sum_{k=2}^{3}\frac 1 k\\ a_2&=(-1)^2\sum_{k=4}^{6}\frac 1 k\\ a_3&=(-1)^3\sum_{k=7}^{10}\frac 1 k\\ \cdots &=\cdots \\ a_n&=(-1)^n\sum_{k=T_n+1}^{T_{n+1}}\frac 1 k\end-\dots$$

Así que usted ha $1$, $2$ desventajas, $3$ ventajas, $4$ menos, y así sucesivamente.

Podemos escribir la serie como $a_0+a_1+a_2+a_3+\dots$ donde $$-#-#-{align}$$

Donde $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$ en lo que va de $1,3,6,10,\dots$

Ahora, sabemos que $$\sum_{k=1}^n \frac 1 k =\log n+\gamma+\frac 1 {2n}+O(n^{-2})$$

Así

$$\eqalign{ & \sum\limits_{k = 1}^{{T_n}} {{1 \over k}} = \log n + \log \left( {n + 1} \right) - \log 2 + \gamma + O({n^{ - 2}}) \cr & \sum\limits_{k = 1}^{{T_{n + 1}}} {{1 \over k}} = \log \left( {n + 2} \right) + \log \left( {n + 1} \right) - \log 2 + \gamma + O({n^{ - 2}}) \cr} $$

De ahí que, después de la simplificación

$$\sum\limits_{k = {T_n} + 1}^{{T_{n + 1}}} {{1 \over k}} = \log \left( {1 + {2 \over n}} \right) + O(n^{-2})$$

Recordemos que $$\log(1+x)=x+O(x^2)$$ lo

$$\sum\limits_{k = {T_n} + 1}^{{T_{n + 1}}} {{1 \over k}} = \frac{2}{n} +O\left(\frac 1 {n^2}\right)$$

Desde $$\sum (-1)^n \frac 1 n $$ and $$\sum n^{-2}$$ converge, lo hace su serie.

Answer 2

Puede utilizar la alternancia de serie de la prueba si usted puede probar que la suma de un bloque va a cero. Bloque $n$ comienza a $\dfrac 1{\dfrac {n(n-1)}2+1}$ y termina a las $\frac 1{\frac {n(n+1)}2}$ e ha $n$ términos. La suma es entonces menos de $\dfrac n{\dfrac {n(n-1)}2}=\dfrac 2{n-1}$ que va a cero

Answer 3

$$ \underbrace{\vphantom{\frac11}+1}_{\text{longitud }1} \underbrace{-\frac12-\frac13}_{\text{longitud }2} \underbrace{+\frac14+\frac15+\frac16}_{\text{longitud }3} \underbrace{-\frac17-\frac18-\frac19-\frac1{10}}_{\text{longitud }4} \underbrace{+\frac1{11}+\frac1{12}+\frac1{13}+\frac1{14}+\frac1{15}}_{\text{longitud }5}-\ldots $$ Los valores absolutos de los términos del mismo signo bloque de longitud $n$ son de $$ \dfrac1{n(n-1)/2+1}\quad\text{a}\quad\dfrac1{n(n+1)/2} $$ y la suma de los bloques debe satisfacer $$ \frac2{n+1}=\frac{n}{n(n+1)/2}\le(-1)^{n-1}\text{suma}\le\frac{n}{n(n-1)/2+1}\lt\frac2{n-1} $$ que tiende a $0$.

El valor absoluto de la suma de los del mismo signo bloque de longitud $n$ y el mismo signo de bloque de longitud $n+1$ es en la mayoría de los $$ \frac2{n-1}-\frac2{n+2}=\frac6{(n+2)(n-1)} $$ Por lo tanto, la suma de los pares de bloques converge absolutamente y los bloques convergen a $0$. Por lo tanto, el pleno de la serie converge.

Answer 4

Para elaborar Ross Millikan respuesta y André Nicolás comentario, indicar el $n$-ésimo bloque suma (sin tener en cuenta el signo) por $B_n$. Entonces \begin{align} B_n &= \sum_{i=1}^n \frac1{k_n+n},\\ k_n &= \frac{n(n-1)}{2},\\ k_{n+1} &= k_n+n = \frac{n(n+1)}{2} \le n^2.\tag{1} \end{align} Por lo tanto \begin{align} B_n - B_{n+1} &= \sum_{i=1}^n \frac1{k_n+i} - \sum_{i=1}^{n+1} \frac1{k_{n+1}+i}\\ &= \sum_{i=1}^n \frac1{k_n+i} - \sum_{i=1}^n \frac1{k_{n+1}+i} - \frac1{k_n+2n+1}\\ &= \sum_{i=1}^n \frac{n}{(k_n+i)(k_{n+1}+i)} - \frac1{k_n+2n+1}\ \text{ by } (1)\\ &\ge \sum_{i=1}^n \frac{n}{(k_n+n)(k_n+2n)} - \frac1{k_n+2n+1}\\ &= \frac{n^2}{(k_n+n)(k_n+2n)} - \frac1{k_n+2n+1}\\ &\ge \frac{1}{k_n+2n} - \frac1{k_n+2n+1}\ \text{ by } (1)\\ &> 0. \end{align} Por lo tanto el bloque suma de hecho es monótona decreciente y en la alternancia de la serie de prueba se aplica.