$$\int_{0}^{\phi}{(1-x+x^2-x^3)^{2N-1}\over\left[1-(2N+1)x+(4N+1)x^2-(6N+1)x^3\right]^{-1}}\mathrm dx =5^{N}\phi\tag1$$
Supongamos que $N\ge1$ y $\phi$ es la proporción áurea.
¿Cómo demostramos que sí se evalúa a $5^N\phi?$
La sustitución no parece funcionar para esta integral. A no ser que las cambiemos por una suma, pero ¿cómo?
$$1-(2N+1)x+(4N+1)x^2-(6N+1)x^3$$ y
$$1-x+x^2-x^3$$
Dejemos que $f(x)=1-x+x^2-x^3$ .
Entonces, $$1-(2N+1)x+(4N+1)x^2-(6N+1)x^3$$ puede escribirse como $$\begin{align}&1-(2N+1)x+(4N+1)x^2-(6N+1)x^3\\\\&=1-x+x^2-x^3+2Nx(-1+2x-3x^2)\\\\&=f(x)+2Nxf'(x)\end{align}$$
Utilizando esto, tenemos $$\begin{align}\int_{0}^{\phi}f^{2N-1}(x)(f(x)+2Nxf'(x))\ \mathrm dx&=\int_{0}^{\phi}\left(f^{2N}(x)+x\left(f^{2N}(x)\right)'\right)\ \mathrm dx\\\\&=\int_{0}^{\phi}\left(xf^{2N}(x)\right)'\ \mathrm dx\\\\&=\left[xf^{2N}(x)\right]_{0}^{\phi}\\\\&=\phi(1-\phi+\phi^2-\phi^3)^{2N}\\\\&=5^N\phi\end{align}$$
La última igualdad proviene de que $$1-\phi+\phi^2-\phi^3=(1-\phi)(1+\phi^2)=(1-\phi)(2+\phi)=2-\phi-(\phi+1)=-\sqrt 5$$ donde utilizamos que $\phi^2=1+\phi$ .
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