Permita que$f:[0,T]\to \mathbb{R}$ una función integrable de Riemann que satisfaga$f(t)>0$ para todo$t\in [0,T]$.
Considere la integral$$g(t)=\int_{0}^{t}f^{2}(u)du$% $
¿Es cierto que$g(t)$ está aumentando estrictamente?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La cuestión no es tan simple como suena. Se basa en el siguiente resultado:
Si $f$ es Riemann integrable en $[a, b] $ $f(x) >0$ todos los $x\in[a, b] $$\displaystyle \int_{a} ^{b} f(x) \, dx>0$.
Esto puede ser demostrado mediante la siguiente profunda resultado :
Si $f$ es Riemann integrable en $[a, b] $, entonces es continua en algún punto en $[a, b] $.
Para su función de $g$ nota de que $$g(y) - g(x) =\int_{x}^{y}f^{2}(u)\,du>0$$ if $x<y$ so that $g$ es, de hecho, estrictamente creciente.
Actualización: A petición de usuario gimusi a través de comentarios me estoy dando una explicación para el enfoque común de este problema y sus limitaciones.
Vamos a relajar nuestras condiciones y asumir que $f$ es discontinuo sólo en un número finito de puntos de decir $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}$ en el intervalo de $[0,T]$. A continuación, $f^{2}$ es Riemann integrable en $[0,T]$ $g$ es continua en a $[0,T]$. Estos puntos de $t_{i} $ junto con $0,T$ forman una partición del intervalo $[0,T]$ y dejar que esta partición se $$P=\{x_{0}=0,x_{1},x_{2},\dots,x_{k}=T\} $$ Clearly $f^{2}$ is continuous on each open interval $(x_{i-1},x_{i})$ and therefore via Fundamental Theorem of Calculus $g'(t) =f^{2}(t)>0$ on each of these open intervals. Since $g$ is continuous on the closed interval $[x_{i-1}, x_{i}] $ it follows via mean value theorem that $g$ is strictly increasing in each closed interval $[x_{i-1},x_{i}]$ and hence it is strictly increasing on the whole interval $[x_{0},x_{k}]=[0,T]$.
Por lo tanto el enfoque tradicional basado en el signo de la derivada puede ser utilizado para demostrar que la $g$ es estrictamente creciente, pero sólo en virtud de la menor condición general que $f$ tiene un número finito de discontinuidades en $[0,T]$. Para un general de Riemann integrable función de $f$ es posible que el número de discontinuidades es infinita (countably o uncountably). Y, a continuación, el método anterior no funciona.
Por otro lado en lugar de contar las discontinuidades de $f$ el enfoque adecuado es medir en la forma especificada por Lebesgue y haciendo así que tenemos otro profundo teorema (con un poco de esfuerzo):
Si $f$ está delimitada en $[a, b] $ entonces es Riemann integrable en $[a, b] $ si y sólo si el conjunto de discontinuidades de $f$ $[a, b] $ es de medida cero.
Un trivial implicación del resultado anterior es que una de Riemann integrable función debe ser continua en un número infinito de puntos que nos trae de vuelta al resultado mencionado (y enlazado) anterior.
gimusi
Puntos
1255
Si$f$ es continuo, entonces:
ps
Por lo tanto,$$g(t)=\int_{0}^{t}f^{2}(u)du \implies g'(t)=f^2(t)>0$ está aumentando estrictamente
NOTA
también se aplica al número finito de discontinuidades (ver respuesta y comentarios de Paramanand Singh )
lo contrario no es necesario cierto
